Déterminants : exercices de maths Licence L1 à télécharger en PDF

1 Quatre déterminants d’ordre 2 ★★★

Calculer les déterminants suivants :

1. \(\begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 4 \end{vmatrix}\)
2. \(\begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 2 & -3 \end{vmatrix}\)
3. \(\begin{vmatrix} 6 & -2 \\ 9 & -3 \end{vmatrix}\)
4. \(\begin{vmatrix} 0 & 7 \\ -2 & 5 \end{vmatrix}\)

2 Règle de Sarrus ★★★

Calculer avec la règle de Sarrus \(\begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 4 \\ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix}\) puis \(\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 4 \end{vmatrix}\).

3 Vrai ou faux avec det A = 5 ★★★

Soit \(A\) une matrice \(3 \times 3\) telle que \(\det A = 5\). Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse et corriger si besoin :

1. \(\det(3A) = 15\)
2. \(\det({}^t A) = 5\)
3. \(\det(-A) = 5\)
4. \(\det(A^2) = 25\)

4 Quand une matrice 2×2 est-elle inversible ? ★★★

Pour quels réels \(m\) la matrice \(\begin{pmatrix} m & 2 \\ 3 & m+1 \end{pmatrix}\) est-elle non inversible ?

5 Matrices triangulaires ★★★

Calculer sans développer les déterminants de \(\begin{pmatrix} 2 & 5 & 1 \\ 0 & -3 & 4 \\ 0 & 0 & 7 \end{pmatrix}\) et de \(\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ 5 & 4 & -1 & 0 \\ 7 & 8 & 9 & 2 \end{pmatrix}\).

6 Aire d’un parallélogramme ★★★

Dans le plan muni d’un repère, on considère \(u = (4,1)\) et \(v = (2,3)\). Calculer l’aire du parallélogramme construit sur \(u\) et \(v\), puis celle du triangle construit sur les mêmes vecteurs.

7 Effet des opérations sur les lignes ★★★

Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\). Calculer \(\det A\), puis les déterminants des matrices obtenues en : (a) échangeant les deux lignes ; (b) multipliant la première ligne par \(3\) ; (c) remplaçant \(L_2\) par \(L_2 - 3L_1\).

8 Développement d’un déterminant d’ordre 4 ★★★

Calculer \(\begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 0 & 2 \end{vmatrix}\) par développement selon une colonne bien choisie.

9 Méthode du pivot ★★★

Calculer \(\begin{vmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 1 & 3 & 5 \\ 3 & 5 & 10 \end{vmatrix}\) en se ramenant à une matrice triangulaire.

10 Déterminant d’un produit ★★★

Soit \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\). Sans calculer de produit matriciel, déterminer \(\det(AB)\), \(\det(A^3)\), \(\det(A^{-1})\), \(\det({}^t A B^{-1})\) et \(\det(2B)\).

11 Déterminant avec paramètre ★★★

Soit \(A(m) = \begin{pmatrix} m & 1 & 0 \\ 1 & m & 1 \\ 0 & 1 & m \end{pmatrix}\). Calculer \(\det A(m)\) et déterminer les valeurs de \(m\) pour lesquelles \(A(m)\) n’est pas inversible.

12 Inverse par la comatrice ★★★

Soit \(B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix}\). Montrer que \(B\) est inversible puis calculer \(B^{-1}\) avec la comatrice.

13 Le prix du goûter ★★★

À la buvette d’un club, 3 croissants et 2 jus de fruits coûtent 11 €, tandis que 5 croissants et 4 jus de fruits coûtent 19 €. Écrire le système et le résoudre par les formules de Cramer.

14 Rang d’une matrice 3×3 ★★★

Déterminer le rang de \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\) à l’aide des mineurs.

15 Trois points sont-ils alignés ? ★★★

On donne \(A(1,2)\), \(B(4,8)\) et \(C(m,14)\). Pour quelle valeur de \(m\) les trois points sont-ils alignés ?

16 Matrice antisymétrique d’ordre 3 ★★★

Une matrice \(A\) est antisymétrique si \({}^t A = -A\). Montrer que toute matrice antisymétrique d’ordre 3 est non inversible. Vérifier sur \(\begin{pmatrix} 0 & 2 & -3 \\ -2 & 0 & 5 \\ 3 & -5 & 0 \end{pmatrix}\).

17 Déterminant de Vandermonde ★★★

Montrer que \(\begin{vmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{vmatrix} = (b-a)(c-a)(c-b)\), puis préciser quand cette matrice est inversible. Application numérique avec \(a=1\), \(b=2\), \(c=4\).

18 Déterminant circulant ★★★

Montrer par la règle de Sarrus que \(\begin{vmatrix} a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a \end{vmatrix} = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc\), puis calculer ce déterminant pour \((a,b,c) = (1,2,3)\).

19 Équations matricielles et déterminant ★★★

Soit \(A\) une matrice réelle d’ordre 3. Que peut-on dire de \(\det A\) dans chacun des cas ? (a) \(A^2 = I_3\) ; (b) \(A^3 = 8 I_3\) ; (c) \(A^2 = A\) avec \(A \neq I_3\).

20 Système 3×3 par Cramer ★★★

Résoudre par les formules de Cramer \(\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x + 2y + 3z = 14 \\ 2x - y + z = 3 \end{cases}\) et vérifier le résultat.

21 Rang selon un paramètre ★★★

Discuter, selon le réel \(m\), le rang de \(A(m) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & m \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}\).

22 Aire d’une parcelle ★★★

Sur un plan dont l’unité vaut 10 m, une parcelle a pour sommets \(A(0,0)\), \(B(6,1)\), \(C(7,5)\), \(D(0,4)\). En la découpant en deux triangles, calculer son aire en mètres carrés.