Un cadre qui se déforme quand on le pousse, un étendoir à linge qu’on déplie, les barres articulées d’une lampe de bureau : tous ces objets cachent la même figure, le parallélogramme. Dans ce chapitre, tu vas découvrir ses propriétés sur les côtés, les angles et les diagonales, apprendre à le construire et à le reconnaître, puis voir comment le rectangle, le losange et le carré en sont des cas particuliers.
1. Définition du parallélogramme
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.
Pour \(ABCD\) : \((AB) \parallel (DC)\) et \((AD) \parallel (BC)\).
Sur la figure, les chevrons simples marquent la première paire de côtés parallèles, les chevrons doubles la seconde. Retiens le vocabulaire : \(A\) et \(C\) sont des sommets opposés, \(A\) et \(B\) sont des sommets consécutifs ; \([AC]\) et \([BD]\) sont les diagonales.
Un trapèze quelconque n’a qu’une seule paire de côtés parallèles : ce n’est pas un parallélogramme. Il faut deux paires.
2. Les côtés d’un parallélogramme
Si \(ABCD\) est un parallélogramme, alors ses côtés opposés ont la même longueur : \(AB = DC\) et \(AD = BC\).
\(ABCD\) est un parallélogramme avec \(AB = 7{,}5\) cm et \(BC = 4\) cm. Quel est son périmètre ?
Les côtés opposés sont égaux : \(DC = AB = 7{,}5\) cm et \(AD = BC = 4\) cm.
Périmètre : \(2 \times (7{,}5 + 4) = 2 \times 11{,}5 = 23\) cm.
3. Les angles d’un parallélogramme
Dans un parallélogramme, les angles opposés sont égaux, et deux angles consécutifs sont supplémentaires, c’est-à-dire que leur somme vaut \(180^\circ\).
Pour \(ABCD\) : \(\widehat{A} = \widehat{C}\), \(\widehat{B} = \widehat{D}\) et \(\widehat{A} + \widehat{B} = 180^\circ\).
Dans le parallélogramme \(ABCD\), l’angle \(\widehat{A}\) mesure \(68^\circ\). Calcule les trois autres angles.
\(\widehat{C} = \widehat{A} = 68^\circ\) (angles opposés). \(\widehat{B} = 180^\circ - 68^\circ = 112^\circ\) (angles consécutifs). Enfin \(\widehat{D} = \widehat{B} = 112^\circ\).
Vérification : \(68 + 112 + 68 + 112 = 360\), la somme des angles d’un quadrilatère.
4. Les diagonales et le centre de symétrie
Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu. Ce point commun \(O\) est le centre de symétrie du parallélogramme.
Comme \(O\) est le centre de symétrie, le symétrique de \(A\) est \(C\), celui de \(B\) est \(D\), et celui du segment \([AB]\) est le segment \([CD]\). C’est pour cela que les côtés opposés ont la même longueur.
Les diagonales \([AC]\) et \([BD]\) du parallélogramme \(ABCD\) se coupent en \(O\), avec \(AO = 3{,}2\) cm et \(BD = 9\) cm. Calcule \(AC\) et \(BO\).
\(O\) est le milieu de \([AC]\), donc \(AC = 2 \times 3{,}2 = 6{,}4\) cm. \(O\) est aussi le milieu de \([BD]\), donc \(BO = 9 \div 2 = 4{,}5\) cm.
Sur ma planète, on reconnaît un parallélogramme en le faisant tourner d’un demi-tour autour de son centre : il retombe exactement sur lui-même. Essaie avec une feuille découpée et une punaise !
5. Reconnaître un parallélogramme
- Ses côtés opposés sont parallèles deux à deux (c’est la définition).
- Ses diagonales ont le même milieu.
- Il est non croisé et ses côtés opposés ont la même longueur deux à deux.
- Il est non croisé et deux côtés opposés sont à la fois parallèles et de même longueur.
Dans le quadrilatère \(EFGH\), les diagonales \([EG]\) et \([FH]\) se coupent en \(K\), avec \(EK = KG = 4{,}5\) cm et \(FK = KH = 2{,}8\) cm. Est-ce un parallélogramme ?
\(K\) est le milieu de \([EG]\) et le milieu de \([FH]\) : les diagonales ont le même milieu, donc \(EFGH\) est un parallélogramme.
Un trapèze isocèle a ses deux côtés non parallèles égaux, mais ce n’est pas un parallélogramme. Il faut que les deux côtés égaux soient opposés et parallèles en même temps. Et un quadrilatère « croisé » (en forme de nœud papillon) ne compte pas.
6. Construire un parallélogramme
- Trace les segments \([AB]\) et \([BC]\).
- Prends dans ton compas l’écartement \(AB\), pointe en \(C\) : trace un arc de cercle.
- Prends l’écartement \(BC\), pointe en \(A\) : trace un second arc qui coupe le premier en \(D\) (prends l’intersection située de l’autre côté de \((AC)\) que \(B\)).
- Trace \([CD]\) et \([DA]\), puis vérifie avec l’équerre ou la règle que \((AD) \parallel (BC)\).
Cette construction marche parce que les côtés opposés égaux font de \(ABCD\) un parallélogramme. Autre méthode : place le milieu \(O\) de \([AC]\), puis le point \(D\) symétrique de \(B\) par rapport à \(O\), de sorte que les diagonales aient le même milieu.
7. Le rectangle, le losange et le carré
Ces trois quadrilatères sont des parallélogrammes qui ont en plus une propriété remarquable : ils héritent donc de tout ce qui précède.
- Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits. Ses diagonales ont la même longueur.
- Un losange est un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur. Ses diagonales sont perpendiculaires.
- Un carré est à la fois un rectangle et un losange : quatre angles droits et quatre côtés égaux.
| Figure | Côtés | Angles | Diagonales |
|---|---|---|---|
| Parallélogramme | opposés égaux | opposés égaux | même milieu |
| Rectangle | opposés égaux | quatre angles droits | même milieu et même longueur |
| Losange | quatre côtés égaux | opposés égaux | même milieu et perpendiculaires |
| Carré | quatre côtés égaux | quatre angles droits | même milieu, même longueur, perpendiculaires |
8. Reconnaître un rectangle, un losange, un carré
- Un parallélogramme qui a un angle droit ou des diagonales de même longueur est un rectangle.
- Un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs égaux ou des diagonales perpendiculaires est un losange.
- Un parallélogramme qui est à la fois un rectangle et un losange est un carré.
\(ABCD\) est un parallélogramme avec \(AB = AD = 5\) cm et un angle \(\widehat{A}\) droit. Quelle est sa nature ?
Deux côtés consécutifs sont égaux : c’est un losange. Il a un angle droit : c’est un rectangle. Il est donc à la fois losange et rectangle : c’est un carré.
9. Périmètre et aire d’un parallélogramme
Le périmètre vaut \(2 \times (a + b)\) où \(a\) et \(b\) sont deux côtés consécutifs. Pour l’aire, on utilise une base et la hauteur correspondante, c’est-à-dire la distance entre la base et le côté opposé, mesurée perpendiculairement.
\[ \mathcal{A} = \text{base} \times \text{hauteur} \]
Pour la figure ci-dessus, \(AB = 9\) cm, \(AD = 5\) cm et la hauteur \(DH = 4\) cm.
Aire : \(9 \times 4 = 36\) cm². Périmètre : \(2 \times (9 + 5) = 28\) cm.
La hauteur n’est pas le côté oblique ! Pour l’aire, on multiplie la base par la hauteur (le trait pointillé), jamais par le côté incliné.
À retenir
- Un parallélogramme a ses côtés opposés parallèles deux à deux.
- Ses côtés opposés sont égaux, ses angles opposés sont égaux, et deux angles consécutifs ont pour somme \(180^\circ\).
- Ses diagonales se coupent en leur milieu, qui est son centre de symétrie.
- Pour le reconnaître : côtés opposés parallèles, ou diagonales de même milieu, ou côtés opposés égaux (non croisé), ou deux côtés opposés parallèles et égaux.
- Rectangle : angle droit ou diagonales égales. Losange : deux côtés consécutifs égaux ou diagonales perpendiculaires. Carré : les deux à la fois.
- Aire = base \(\times\) hauteur ; périmètre = \(2 \times (a + b)\).
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