Le prix d’un forfait, l’aire d’un terrain, le temps d’un trajet, la hauteur d’un ballon : derrière ces situations se cachent quelques fonctions « modèles » que l’on retrouve partout. Les connaître sur le bout des doigts — leur courbe, leur sens de variation, leurs symétries — te permet de raisonner vite et juste sur n’importe quelle fonction plus compliquée. Dans ce chapitre, tu apprends à les reconnaître, à les comparer et à les combiner.
1. Les fonctions affines
Une fonction affine est une fonction de la forme \(f(x) = ax + b\), où \(a\) et \(b\) sont deux nombres réels fixés. Elle est définie sur \(\mathbb{R}\). Sa courbe est une droite : \(a\) est son coefficient directeur (sa pente) et \(b\) son ordonnée à l’origine, car \(f(0) = b\).
Si \(a > 0\), \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) ; si \(a < 0\), elle est strictement décroissante ; si \(a = 0\), elle est constante. Pour deux réels distincts \(x_1\) et \(x_2\) : \[ a = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}. \]
Sur la figure, la droite violette a pour équation \(y = 2x - 1\) : elle monte de \(2\) unités quand \(x\) augmente de \(1\). La droite orange, \(y = -x + 3\), descend d’une unité chaque fois que \(x\) augmente de \(1\). Elles se coupent en \(I\), car \(2x - 1 = -x + 3\) donne \(x = \dfrac{4}{3}\).
Une fonction affine \(f\) vérifie \(f(1) = 5\) et \(f(4) = -1\). Détermine \(f(x)\).
Coefficient directeur : \(a = \dfrac{-1 - 5}{4 - 1} = \dfrac{-6}{3} = -2\). Ensuite \(f(1) = -2 \times 1 + b = 5\), donc \(b = 7\). Ainsi \(f(x) = -2x + 7\). Vérification : \(f(4) = -8 + 7 = -1\). ✔
2. La fonction carré
La fonction carré est définie sur \(\mathbb{R}\) par \(x \mapsto x^2\). Elle est décroissante sur \(]-\infty\,;0]\), croissante sur \([0\,;+\infty[\), et son minimum vaut \(0\), atteint en \(x = 0\). Sa courbe est une parabole de sommet \(O\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(0\) | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|
| \(x^2\) | décroît ↘ | 0 | croît ↗ |
Deux nombres opposés ont le même carré : \((-2)^2 = 2^2 = 4\). Cela se voit sur la courbe, qui est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Les solutions de \(x^2 = k\) sont donc deux nombres opposés \(\pm\sqrt{k}\) si \(k > 0\), un seul (\(0\)) si \(k = 0\), et aucune si \(k < 0\).
Ne range jamais deux nombres négatifs comme s’ils étaient positifs : \(-4 < -3\) mais \((-4)^2 = 16 > 9 = (-3)^2\), car la fonction carré est décroissante sur les négatifs. Pour comparer des carrés, regarde d’abord le signe des nombres.
Compare \((-4{,}1)^2\) et \((-3{,}9)^2\).
Les deux nombres sont dans \(]-\infty\,;0]\), où la fonction carré est décroissante. Comme \(-4{,}1 < -3{,}9\), on a \((-4{,}1)^2 > (-3{,}9)^2\). Contrôle : \(16{,}81 > 15{,}21\). ✔
3. La fonction inverse
La fonction inverse \(x \mapsto \dfrac{1}{x}\) est définie sur \(\mathbb{R}^* = ]-\infty\,;0[ \,\cup\, ]0\,;+\infty[\) : on ne peut pas diviser par \(0\). Elle est décroissante sur chacun des deux intervalles \(]-\infty\,;0[\) et \(]0\,;+\infty[\). Sa courbe est une hyperbole à deux branches.
| \(x\) | \(-\infty\) | \(0\) | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|
| \(1/x\) | décroît ↘ | interdit | décroît ↘ |
La fonction inverse n’est pas décroissante sur \(\mathbb{R}^*\) tout entier : \(-1 < 1\) et l’ordre n’est pas renversé : \(\dfrac{1}{-1} = -1 < 1 = \dfrac{1}{1}\). La décroissance ne vaut que sur chaque branche, jamais « à cheval » sur \(0\).
Sachant que \(2 \leqslant x \leqslant 5\), encadre \(\dfrac{1}{x}\).
Les nombres sont dans \(]0\,;+\infty[\), où la fonction inverse est décroissante : elle renverse l’ordre. Donc \(\dfrac{1}{5} \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{1}{2}\), c’est-à-dire \(0{,}2 \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant 0{,}5\).
4. La fonction racine carrée
La fonction racine carrée \(x \mapsto \sqrt{x}\) est définie sur \([0\,;+\infty[\) et elle est strictement croissante sur cet intervalle : si \(0 \leqslant a < b\), alors \(\sqrt{a} < \sqrt{b}\).
| \(x\) | \(0\) | \(+\infty\) |
|---|---|---|
| \(\sqrt{x}\) | 0 | croît ↗ |
Pour tout réel \(x\), on a \(\sqrt{x^2} = |x|\), et non \(x\) : par exemple \(\sqrt{(-6)^2} = \sqrt{36} = 6\). En revanche, pour \(x \geqslant 0\), \(\left(\sqrt{x}\right)^2 = x\).
Pour comparer \(\sqrt{7}\) à un nombre simple comme \(2{,}6\), élève les deux au carré : sur les nombres positifs, le carré ne change pas l’ordre. Ici \(2{,}6^2 = 6{,}76 < 7\), donc \(\sqrt{7} > 2{,}6\).
5. Parité et symétries
Soit \(f\) une fonction dont l’ensemble de définition \(D\) est symétrique par rapport à \(0\) (si \(x \in D\), alors \(-x \in D\)).
- \(f\) est paire si, pour tout \(x \in D\), \(f(-x) = f(x)\) : sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
- \(f\) est impaire si, pour tout \(x \in D\), \(f(-x) = -f(x)\) : sa courbe est symétrique par rapport à l’origine du repère.
La fonction carré est paire ; les fonctions \(x \mapsto x\), \(x \mapsto x^3\) et la fonction inverse sont impaires. La racine carrée n’est ni paire ni impaire : son ensemble de définition \([0\,;+\infty[\) n’est pas symétrique par rapport à \(0\).
- Vérifie que l’ensemble de définition est symétrique par rapport à \(0\).
- Calcule \(f(-x)\) en remplaçant \(x\) par \(-x\) partout.
- Compare avec \(f(x)\) et avec \(-f(x)\).
- Si aucune égalité n’est vraie pour tout \(x\), cherche un contre-exemple pour montrer que \(f\) n’a pas de parité.
Soit \(f(x) = x^4 - 3x^2 + 1\), \(g(x) = 2x^3 - 5x\) et \(h(x) = x^2 + x\), toutes définies sur \(\mathbb{R}\).
\(f(-x) = (-x)^4 - 3(-x)^2 + 1 = x^4 - 3x^2 + 1 = f(x)\) : \(f\) est paire. \(g(-x) = 2(-x)^3 - 5(-x) = -2x^3 + 5x = -g(x)\) : \(g\) est impaire. Pour \(h\) : \(h(1) = 2\) et \(h(-1) = 0\), qui n’est ni égal à \(2\) ni à \(-2\) : \(h\) n’est ni paire ni impaire.
6. Positions relatives de deux courbes
Pour savoir quelle courbe est « au-dessus » de l’autre, on étudie le signe de la différence \(f(x) - g(x)\). Si elle est positive, \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de \(\mathcal{C}_g\) ; si elle est négative, elle est en dessous ; si elle s’annule, les courbes se coupent.
Compare \(x^2\) et \(x\) pour tout réel \(x\).
\(x^2 - x = x(x - 1)\). Ce produit est négatif pour \(0 < x < 1\), nul en \(0\) et en \(1\), positif pour \(x < 0\) et pour \(x > 1\). Ainsi la parabole est sous la droite \(y = x\) entre \(0\) et \(1\), et au-dessus ailleurs. C’est ce que montre la figure (sur \([0\,;1{,}7]\)).
De même, pour \(x \geqslant 0\) : \(\sqrt{x} - x = \sqrt{x}\,(1 - \sqrt{x})\). Ce nombre est positif quand \(\sqrt{x} \leqslant 1\), c’est-à-dire \(x \leqslant 1\). Donc \(\sqrt{x} \geqslant x\) sur \([0\,;1]\) et \(\sqrt{x} \leqslant x\) sur \([1\,;+\infty[\).
7. Les fonctions polynômes du second degré
C’est une fonction \(f(x) = ax^2 + bx + c\) avec \(a \neq 0\). Elle peut s’écrire sous forme canonique \(f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta\). Sa courbe est une parabole de sommet \(S(\alpha\,;\beta)\), symétrique par rapport à la droite d’équation \(x = \alpha\), avec \(\alpha = -\dfrac{b}{2a}\) et \(\beta = f(\alpha)\).
Si \(a > 0\) : \(f\) décroît sur \(]-\infty\,;\alpha]\), croît sur \([\alpha\,;+\infty[\) et admet un minimum \(\beta\) en \(\alpha\). Si \(a < 0\) : c’est l’inverse, avec un maximum \(\beta\) en \(\alpha\).
Soit \(f(x) = -2x^2 + 8x - 3\).
Ici \(a = -2 < 0\), \(\alpha = -\dfrac{8}{2 \times (-2)} = 2\) et \(\beta = f(2) = -8 + 16 - 3 = 5\). Donc \(f(x) = -2(x - 2)^2 + 5\). Vérification : \(-2(x^2 - 4x + 4) + 5 = -2x^2 + 8x - 3\). ✔ La fonction croît sur \(]-\infty\,;2]\), décroît sur \([2\,;+\infty[\) et son maximum vaut \(5\), atteint en \(x = 2\).
La figure précédente illustre \(f(x) = x^2 - 4x + 3 = (x - 2)^2 - 1\) : le sommet est \(S(2\,;-1)\) et la courbe coupe l’axe des abscisses en \(1\) et \(3\), car \((x - 2)^2 = 1\) donne \(x - 2 = \pm 1\). On peut aussi factoriser : \(f(x) = (x - 1)(x - 3)\).
À retenir
- Fonction affine \(ax + b\) : une droite ; croissante si \(a > 0\), décroissante si \(a < 0\).
- Fonction carré : parabole, décroissante puis croissante, minimum \(0\) en \(0\) ; elle est paire.
- Fonction inverse : définie sur \(\mathbb{R}^*\), décroissante sur chaque intervalle, impaire ; elle renverse l’ordre.
- Fonction racine carrée : définie sur \([0\,;+\infty[\), croissante ; \(\sqrt{x^2} = |x|\).
- Paire : \(f(-x) = f(x)\) (axe des ordonnées) ; impaire : \(f(-x) = -f(x)\) (origine).
- Position relative de deux courbes : signe de \(f(x) - g(x)\).
- Second degré : forme canonique \(a(x - \alpha)^2 + \beta\), sommet \(S(\alpha\,;\beta)\), minimum si \(a > 0\), maximum si \(a < 0\).
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