Corrigé du contrôle avec le barème détaillé. Compte tes points et repère ce qu’il faut revoir.
1 Fonction affine / 3 pts
- \(a = \dfrac{-1 - 9}{3 - (-2)} = \dfrac{-10}{5} = -2\) (1 pt).
- \(f(3) = -2 \times 3 + b = -1\) donne \(b = 5\), donc \(f(x) = -2x + 5\) (1 pt). Vérification : \(f(-2) = 4 + 5 = 9\).
- \(a = -2 < 0\) : \(f\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\) (1 pt).
2 Comparaisons / 3 pts
- Les nombres sont négatifs et la fonction carré est décroissante sur \(]-\infty\,;0]\). Comme \(-2{,}6 < -1{,}9\), \((-2{,}6)^2 > (-1{,}9)^2\) (1 pt).
- \(3{,}5^2 = 12{,}25 < 13\) et la racine carrée est croissante, donc \(3{,}5 < \sqrt{13}\) (1 pt).
- La fonction inverse est décroissante sur \(]-\infty\,;0[\) : \(\dfrac{1}{-1} \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{1}{-3}\), soit \(-1 \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant -\dfrac{1}{3}\) (1 pt).
3 Parité / 3 pts
- \(f(-x) = x^4 + 5x^2 - 2 = f(x)\) : \(f\) est paire (1 pt).
- \(g(-x) = -4x^3 + x = -g(x)\) : \(g\) est impaire (1 pt).
- \(h(1) = -1\) et \(h(-1) = 3\). Comme \(3 \neq -1\) et \(3 \neq 1\), \(h\) n’est ni paire ni impaire (1 pt).
4 Un trinôme / 4 pts
- \((x - 3)^2 - 4 = x^2 - 6x + 9 - 4 = x^2 - 6x + 5\) (1 pt).
- Le sommet est \(S(3\,;-4)\). Comme \(a = 1 > 0\), \(f\) décroît sur \(]-\infty\,;3]\), croît sur \([3\,;+\infty[\), minimum \(-4\) (1 pt).
- \((x - 3)^2 = 4\) donne \(x - 3 = 2\) ou \(x - 3 = -2\), soit \(x = 5\) ou \(x = 1\) (1 pt).
- Le minimum de \(f\) est \(-4 > -6\) : \(f(x) = -6\) n’a aucune solution (1 pt).
5 Positions relatives / 4 pts
- \(f(x) - g(x) = x^2 - 3x + 2\) et \((x - 1)(x - 2) = x^2 - 3x + 2\) (1 pt).
- \((x - 1)(x - 2) = 0\) donne \(x = 1\) ou \(x = 2\) (1 pt).
- Le produit est négatif pour \(1 < x < 2\), positif ailleurs : \(\mathcal{C}_f\) est en dessous de \(\mathcal{C}_g\) sur \([1\,;2]\) et au-dessus sur \(]-\infty\,;1]\) et \([2\,;+\infty[\) (1 pt).
- \(f(1) = 1\) et \(f(2) = 4\) : les points sont \((1\,;1)\) et \((2\,;4)\) (1 pt).
6 Bénéfice d’un atelier / 3 pts
- \(-2(x - 6)^2 + 32 = -2(x^2 - 12x + 36) + 32 = -2x^2 + 24x - 40\) (1 pt).
- Comme \(-2 < 0\), \(B\) est maximale en \(x = 6\), et \(B(6) = 32\) : \(600\) objets pour \(3\,200\) € de bénéfice (1 pt).
- \(B(x) = 0\) équivaut à \((x - 6)^2 = 16\), soit \(x = 10\) ou \(x = 2\) : le bénéfice est nul pour \(200\) ou \(1\,000\) objets (1 pt).
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