Dérivation : exercices corrigés de maths 1ère à télécharger en PDF

1 Un taux de variation ★★★

\(f(1) = 2\) et \(f(4) = 17\).

Taux : \(\dfrac{17 - 2}{4 - 1} = \dfrac{15}{3} = 5\).

2 Taux d’une fonction affine ★★★

\(f(-1) = -5\) et \(f(5) = 13\), donc le taux vaut \(\dfrac{13 - (-5)}{5 - (-1)} = \dfrac{18}{6} = 3\).

On retrouve le coefficient \(3\) de la fonction : pour une fonction affine, le taux de variation est constant et égal au coefficient directeur.

3 Dérivées usuelles ★★★

\(f'(x) = 5x^4\) ; \(g'(x) = 7x^6\) ; \(h'(x) = 0\) (constante) ; \(k'(x) = -\dfrac{1}{x^2}\) pour \(x \neq 0\) ; \(m'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) pour \(x > 0\).

\(f'(2) = 5 \times 2^4 = 80\) et \(g'(1) = 7 \times 1 = 7\).

4 Dériver un polynôme ★★★

On dérive terme à terme : \(f'(x) = 4 \times 3x^2 - 5 \times 2x + 7 = 12x^2 - 10x + 7\).

\(f'(1) = 12 - 10 + 7 = 9\).

5 Où la dérivée s’annule-t-elle ? ★★★

\(g'(x) = 2x - 6\).

\(g'(3) = 0\) : la tangente en \(x = 3\) est horizontale. \(g'(0) = -6\) : en \(x = 0\), la courbe descend.

6 Équation de tangente donnée ★★★

\(y = f'(4)(x - 4) + f(4) = 2(x - 4) + 3 = 2x - 5\).

7 Lire un nombre dérivé ★★★

1. \(f'(2)\) est le coefficient directeur de \(T\), qui passe par \(A(2\,;\,0)\) et \(B(3\,;\,2)\) : \(\dfrac{2 - 0}{3 - 2} = 2\).
2. \(f'(x) = 2x - 2\), donc \(f'(2) = 2\). La tangente est \(y = 2(x - 2) + 0 = 2x - 4\), et \(B\) en fait partie : \(2 \times 3 - 4 = 2\).

8 Nombre dérivé par la définition ★★★

\(f(3) = 12\) et \(f(3+h) = (3+h)^2 + 3 + h = 9 + 6h + h^2 + 3 + h = 12 + 7h + h^2\).

Le taux vaut \(\dfrac{7h + h^2}{h} = 7 + h\). Quand \(h\) tend vers \(0\), il tend vers \(7\) : \(f'(3) = 7\).

Contrôle : \(f'(x) = 2x + 1\) donne bien \(f'(3) = 7\).

9 Tangente à une cubique ★★★

\(f'(x) = 3x^2\), donc \(f'(2) = 12\), et \(f(2) = 8\).

\(y = 12(x - 2) + 8 = 12x - 24 + 8 = 12x - 16\).

10 Dérivée d’un produit ★★★

\(u = x^2 + 1\), \(u' = 2x\) ; \(v = 3x - 4\), \(v' = 3\).

\(f'(x) = 2x(3x - 4) + 3(x^2 + 1) = 6x^2 - 8x + 3x^2 + 3 = 9x^2 - 8x + 3\).

Contrôle : \(f(x) = 3x^3 - 4x^2 + 3x - 4\), donc \(f'(x) = 9x^2 - 8x + 3\).

11 Dérivée d’un quotient ★★★

\(u' = 2\) et \(v' = 1\) : \(f'(x) = \dfrac{2(x + 3) - (2x - 1)}{(x + 3)^2} = \dfrac{2x + 6 - 2x + 1}{(x + 3)^2} = \dfrac{7}{(x + 3)^2}\).

\(f'(0) = \dfrac{7}{9}\).

12 Composée avec une fonction affine ★★★

Avec \(a = 5\) : \(f'(x) = 5 \times 3(5x + 2)^2 = 15(5x + 2)^2\), donc \(f'(0) = 15 \times 4 = 60\).

Avec \(a = 3\) : \(g'(x) = 3 \times \dfrac{1}{2\sqrt{3x + 1}} = \dfrac{3}{2\sqrt{3x + 1}}\).

13 Vrai ou faux ? ★★★

1. Faux. \(x^2 \times x^3 = x^5\), de dérivée \(5x^4\), alors que \(2x \times 3x^2 = 6x^3\). Avec la bonne formule : \(2x \cdot x^3 + x^2 \cdot 3x^2 = 5x^4\).
2. Faux. La dérivée est \(-\dfrac{1}{x^2}\), négative : la fonction inverse est décroissante sur chaque intervalle où elle est définie.
3. Vrai. Une fonction affine \(mx + p\) a pour dérivée la constante \(m\).

14 Tangente horizontale ★★★

\(f'(x) = 2x - 4\). La tangente est horizontale lorsque \(f'(x) = 0\), soit \(x = 2\).

\(f(2) = 4 - 8 + 7 = 3\) : le point est \((2\,;\,3)\) et la tangente a pour équation \(y = 3\).

15 La vitesse du ballon ★★★

1. \(h'(t) = -10t + 20\). \(h'(1) = 10\) m/s : le ballon monte. \(h'(3) = -10\) m/s : il redescend.
2. Il est au plus haut quand \(h'(t) = 0\), soit \(t = 2\) s. \(h(2) = -20 + 40 = 20\) m.

16 Taux et dérivée de l’inverse ★★★

\(\dfrac{1}{2+h} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{2 - (2 + h)}{2(2 + h)} = \dfrac{-h}{2(2 + h)}\).

Le taux vaut donc \(\dfrac{-h}{2(2+h)h} = \dfrac{-1}{2(2 + h)}\). Quand \(h\) tend vers \(0\), il tend vers \(-\dfrac14\) : \(f'(2) = -\dfrac14\).

Contrôle avec la formule : \(-\dfrac{1}{2^2} = -\dfrac14\).

17 Tangente à une fonction homographique ★★★

\(u' = 1\) et \(v' = 1\) : \(f'(x) = \dfrac{(x - 1) - (x + 1)}{(x - 1)^2} = \dfrac{-2}{(x - 1)^2}\).

\(f(2) = 3\) et \(f'(2) = -2\), donc \(y = -2(x - 2) + 3 = -2x + 7\).

18 Tangentes issues d’un point ★★★

La tangente en \(a\) est \(y = 2a(x - a) + a^2 = 2ax - a^2\). Elle passe par \(P\) si \(-3 = 2a - a^2\), c’est-à-dire \(a^2 - 2a - 3 = 0\), soit \((a - 3)(a + 1) = 0\) : \(a = 3\) ou \(a = -1\).

Tangentes : \(y = 6x - 9\) (en \(a = 3\)) et \(y = -2x - 1\) (en \(a = -1\)). Contrôle : \(6 - 9 = -3\) et \(-2 - 1 = -3\).

19 Étude d’une fonction de degré 3 ★★★

\(f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x - 3)(x + 1)\).

\(f'\) est positive pour \(x < -1\) et \(x > 3\), négative entre \(-1\) et \(3\).

\(f(-1) = -1 - 3 + 9 + 2 = 7\) et \(f(3) = 27 - 27 - 27 + 2 = -25\) : maximum local \(7\) en \(-1\), minimum local \(-25\) en \(3\).

20 Le potager le plus grand ★★★

1. Le demi-périmètre est \(20\), donc la longueur vaut \(20 - x\) et \(A(x) = x(20 - x) = 20x - x^2\).
2. \(A'(x) = 20 - 2x\), positive pour \(x < 10\), négative pour \(x > 10\) : \(A\) croît puis décroît. Le maximum est atteint en \(x = 10\), avec \(A(10) = 100\) m². Le potager est un carré de \(10\) m de côté.

21 Produit avec une racine carrée ★★★

\(u = x + 1\), \(u' = 1\) ; \(v = \sqrt{x}\), \(v' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\).

\(f'(x) = \sqrt{x} + \dfrac{x + 1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{2\sqrt{x}\times\sqrt{x} + x + 1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{2x + x + 1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{3x + 1}{2\sqrt{x}}\).