Géométrie dans l'espace : corrigé du contrôle de maths Terminale

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Corrigé du contrôle avec le barème détaillé. Compte tes points et repère ce qu’il faut revoir.

Durée conseillée : 45 minutes. Barème sur 20 points. Calculatrice autorisée seulement quand l’énoncé le précise.

Sommaire

\(\overrightarrow{AB}(2\,;\,-2\,;\,2)\) et \(\overrightarrow{AC}(1\,;\,1\,;\,3)\). (1 pt)
\(AB=\sqrt{12}=2\sqrt3\), \(AC=\sqrt{11}\), \(\overrightarrow{BC}(-1\,;\,3\,;\,1)\) donc \(BC=\sqrt{11}\). (1 pt) Comme \(AC=BC\), le triangle est isocèle en \(C\). (0,5 pt)
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2-2+6=6\). (0,5 pt) \(\cos\widehat{BAC}=\dfrac{6}{2\sqrt3\times\sqrt{11}}=\dfrac{3}{\sqrt{33}}\approx0{,}522\), donc \(\widehat{BAC}\approx58{,}5^\circ\). (1 pt)

La deuxième coordonnée de \(\vec{v}\) est nulle mais pas celle de \(\vec{u}\) : aucun multiple de \(\vec{u}\) ne donne \(\vec{v}\). (0,5 pt)
\(\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}\) : \(a+2b=5\), \(-a=-3\), \(2a+b=k\). Donc \(a=3\), \(b=1\) et \(k=7\). (2 pts)
Pour \(k=0\), il faudrait \(2a+b=0\) alors que \(a=3\) et \(b=1\) sont imposés par les deux premières équations : impossible, donc non coplanaires. (0,5 pt)

Pour \(B\) : \(t=3\) donne \(x=-1\), \(y=10\), \(z=5\) : \(B\in d\). Pour \(C\) : \(t=-2\) donne \(x=4\), \(y=-5\), mais \(z=-5\neq-4\) : \(C\notin d\). (1 pt)
\(\vec{u}(-1\,;\,3\,;\,2)\). (0,5 pt)
\((2-t)+(1+3t)+(-1+2t)-6=4t-4=0\), donc \(t=1\) et l’intersection est \((1\,;\,4\,;\,1)\). (1,5 pt)

\(\overrightarrow{AB}(-1\,;\,2\,;\,0)\) et \(\overrightarrow{AC}(-1\,;\,0\,;\,3)\), non colinéaires. \(\vec{n}\cdot\overrightarrow{AB}=-6+6=0\) et \(\vec{n}\cdot\overrightarrow{AC}=-6+6=0\). (1 pt)
\(6x+3y+2z+d=0\), et \(A\) donne \(6+d=0\) : \(6x+3y+2z-6=0\). (1 pt)
\(6+6+8-6=14\) et \(\sqrt{36+9+4}=7\) : \(d(D,(ABC))=2\). (1 pt)
\(H=D-\dfrac{14}{49}\vec{n}=D-\dfrac27\vec{n}\), soit \(H\left(-\dfrac57\,;\,\dfrac87\,;\,\dfrac{24}{7}\right)\). Vérification : \(6\left(-\dfrac57\right)+3\times\dfrac87+2\times\dfrac{24}{7}-6=\dfrac{42}{7}-6=0\). (1 pt)

\(\vec{n}_Q=-2\vec{n}_P\) : plans parallèles. Le point \((2\,;\,0\,;\,0)\) est dans \(P\) (\(4-4=0\)) mais pas dans \(Q\) (\(-8+1=-7\)). Ils sont strictement parallèles. (1,5 pt)
\(d=\dfrac{7}{\sqrt{16+4+36}}=\dfrac{7}{2\sqrt{14}}=\dfrac{\sqrt{14}}{4}\approx0{,}94\). (1,5 pt)

\(\overrightarrow{SA}(2\,;\,-2\,;\,-3)\) et \(\overrightarrow{SB}(2\,;\,2\,;\,-3)\) : \(SA=SB=\sqrt{17}\). (1 pt)
\(A\) : \(12-12=0\) ; \(B\) : \(12-12=0\) ; \(S\) : \(6+6-12=0\). Les trois points non alignés vérifient l’équation, qui est celle d’un plan : c’est \((SAB)\). (1 pt)
\(K(2\,;\,2\,;\,0)\) : \(d=\dfrac{\lvert6-12\rvert}{\sqrt{9+4}}=\dfrac{6}{\sqrt{13}}=\dfrac{6\sqrt{13}}{13}\approx1{,}66\). (1 pt)

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