Continuité et théorème des valeurs intermédiaires : exercices corrigés de maths Terminale à télécharger en PDF

1 Sans lever le crayon ★★★

1. Une parabole se trace d’un seul trait : la fonction est continue sur \(\mathbb{R}\).
2. La fonction n’est pas définie en \(0\) : elle est continue sur \(]-\infty\,;0[\) et sur \(]0\,;+\infty[\), mais la courbe a deux branches séparées.
3. Le prix saute de \(2\) € à \(4\) € dès que la durée dépasse une heure entière : la courbe forme des marches, la fonction n’est pas continue en \(t = 1, 2, 3, \dots\)

2 Continuité en 1 ★★★

\(f(1) = 3 \times 1 + 1 = 4\). Limite à gauche : \(\lim_{x \to 1^-} (3x + 1) = 4\). Limite à droite : \(\lim_{x \to 1^+} (x + 3) = 4\).

Les deux limites sont égales à \(f(1)\) : \(f\) est continue en \(1\).

3 Justifier une continuité ★★★

1. \(g\) est un polynôme, donc continue sur \(\mathbb{R}\).
2. \(h\) est une fraction rationnelle, continue là où le dénominateur ne s’annule pas. \(x - 4 = 0\) pour \(x = 4\), qui n’est pas dans \([5\,;9]\) : \(h\) est continue sur \([5\,;9]\).
3. \(x \mapsto x + 2\) est continue et positive sur \([-2\,;+\infty[\), et la racine carrée est continue sur \([0\,;+\infty[\) : par composition, \(k\) est continue sur \([-2\,;+\infty[\).

4 Le TVI sur des données ★★★

\(f\) est continue sur \([0\,;5]\) et prend les valeurs \(-3\) et \(8\) aux bornes.

1. \(0 \in [-3\,;8]\) : d’après le TVI, \(f(x) = 0\) a au moins une solution.
2. \(5 \in [-3\,;8]\) : de même, au moins une solution.
3. \(10 \notin [-3\,;8]\) : le théorème ne s’applique pas, on ne peut pas conclure (il y a peut-être une solution, peut-être aucune).

5 Racine de 10 ★★★

\(f\) est un polynôme, donc continue. \(f'(x) = 2x > 0\) sur \([3\,;4]\) : \(f\) est strictement croissante.

\(f(3) = -1 < 0\) et \(f(4) = 6 > 0\) : d’après le corollaire de la bijection, \(f(x) = 0\) a une unique solution dans \([3\,;4]\).

Comme \(\sqrt{10}\) est positif et vérifie \(x^2 = 10\), cette solution est \(\sqrt{10} \approx 3{,}16\).

6 Dérivable ou continue ? ★★★

1. Vrai : c’est une propriété du cours.
2. Faux : la valeur absolue est continue en \(0\) mais sa courbe forme un angle en \(0\) et elle n’y est pas dérivable.
3. Vrai : \(|x|\) vaut \(x\) ou \(-x\) selon le signe de \(x\), et les deux morceaux se rejoignent en \(0\) (valeur \(0\) des deux côtés).

7 Un encadrement à lire ★★★

\(h\) est continue et strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) avec \(h(1) < 0\) et \(h(1{,}2) > 0\) : l’équation \(h(x) = 0\) a une unique solution \(\alpha\), et \(1 < \alpha < 1{,}2\).

Comme \(h(1{,}1) < 0 < h(1{,}2)\), on affine : \(1{,}1 < \alpha < 1{,}2\).

8 Trouver le paramètre ★★★

\(f(2) = 8 + 2a\) et \(\lim_{x \to 2^-} f(x) = 8 + 2a\). À droite, \(\lim_{x \to 2^+} (5x - 4) = 6\).

La continuité en \(2\) équivaut à \(8 + 2a = 6\), donc \(a = -1\).

Vérification : \(f(2) = 2 \times 4 - 2 = 6\), égal à la limite à droite.

9 Prolongement par continuité ★★★

On factorise : \(x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)\). Pour \(x \neq 3\), \(f(x) = x + 2\).

Donc \(\lim_{x \to 3} f(x) = 5\). La fonction est continue en \(3\) si et seulement si \(f(3) = 5\), donc \(m = 5\).

10 Encadrement à 0,01 ★★★

1. \(f\) est continue (polynôme) et \(f'(x) = 3x^2 + 2 > 0\) : \(f\) est strictement croissante. \(f(1) = -4 < 0\) et \(f(2) = 5 > 0\) : le corollaire donne une unique solution \(\alpha \in [1\,;2]\).
2. \(f(1{,}5) = -0{,}625\) et \(f(1{,}6) \approx 0{,}296\), donc \(\alpha \in [1{,}5\,;1{,}6]\). Ensuite \(f(1{,}56) \approx -0{,}0836 < 0\) et \(f(1{,}57) \approx 0{,}0099 > 0\). Ainsi \(1{,}56 < \alpha < 1{,}57\).

11 Équation avec l’exponentielle ★★★

1. \(g\) est continue sur \([0\,;1]\) comme somme de fonctions continues. \(g'(x) = e^x + 1 > 0\) : \(g\) est strictement croissante. \(g(0) = 1 + 0 - 3 = -2 < 0\) et \(g(1) = e - 2 \approx 0{,}718 > 0\). Le corollaire de la bijection donne une unique solution \(\alpha \in [0\,;1]\).
2. \(g(0{,}7) \approx -0{,}286\) et \(g(0{,}8) \approx 0{,}026\), donc \(\alpha \in [0{,}7\,;0{,}8]\). Puis \(g(0{,}79) \approx -0{,}0066\) et \(g(0{,}8) \approx 0{,}0255\) : \(0{,}79 < \alpha < 0{,}80\).

12 Combien de solutions ? ★★★

1. \(g'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x + 1)(x - 2)\). \(g'\) est positive sur \(]-\infty\,;-1]\), négative sur \([-1\,;2]\), positive sur \([2\,;+\infty[\). Valeurs : \(g(-1) = 12\) et \(g(2) = -15\).

   \(x\)	\(-\infty\)	\(-1\)	\(2\)	\(+\infty\)
   \(g\)	croît (de \(-\infty\))	\(12\)	\(-15\)	croît (vers \(+\infty\))

2. Sur \(]-\infty\,;-1]\), \(g\) est continue, strictement croissante, de \(-\infty\) à \(12\) : \(0\) est pris une fois. Sur \([-1\,;2]\), \(g\) décroît de \(12\) à \(-15\) : une fois. Sur \([2\,;+\infty[\), \(g\) croît de \(-15\) à \(+\infty\) : une fois. Ce sont les trois solutions, il n’y en a pas d’autre.
3. \(g(-3) = -40\) et \(g(-2) = 1\) : une solution dans \([-3\,;-2]\). \(g(0) = 5\) et \(g(1) = -8\) : une dans \([0\,;1]\). \(g(3) = -4\) et \(g(4) = 37\) : une dans \([3\,;4]\).

13 Le four à pizza ★★★

1. \(T\) est continue sur \([0\,;40]\) et \(180 \in [20\,;220]\) : d’après le TVI, il existe \(t\) dans \([0\,;40]\) tel que \(T(t) = 180\).
2. La température peut monter jusqu’à \(200\), redescendre un peu, et repasser par \(180\) : le TVI ne garantit pas l’unicité.
3. Il faut que \(T\) soit strictement croissante : le corollaire de la bijection donne alors un unique instant.

14 Quand le théorème est faux ★★★

1. \(f(-1) = -1\) et \(f(1) = 1\).
2. \(0\) est compris entre \(-1\) et \(1\), mais \(f\) ne prend que les valeurs \(-1\) et \(1\) : l’équation \(f(x) = 0\) n’a aucune solution. Il n’y a pas de contradiction : le TVI exige que \(f\) soit continue, or \(f\) fait un saut en \(0\) (limite à gauche \(-1\), valeur \(1\)).

15 Une suite et sa limite ★★★

1. Initialisation : \(u_0 = 1 \in [0\,;3]\). Hérédité : si \(0 \leq u_n \leq 3\), alors \(3 \leq 2u_n + 3 \leq 9\), donc \(\sqrt{3} \leq u_{n+1} \leq 3\), et en particulier \(0 \leq u_{n+1} \leq 3\).
2. \(u_{n+1}^2 - u_n^2 = 2u_n + 3 - u_n^2 = (3 - u_n)(u_n + 1) \geq 0\) car \(u_n \leq 3\) et \(u_n \geq 0\). Comme les termes sont positifs, \(u_{n+1} \geq u_n\).
3. La suite est croissante et majorée par \(3\) : elle converge vers un réel \(\ell \in [1\,;3]\). La fonction \(x \mapsto \sqrt{2x + 3}\) est continue sur \([0\,;3]\), donc \(\ell = \sqrt{2\ell + 3}\), soit \(\ell^2 - 2\ell - 3 = (\ell - 3)(\ell + 1) = 0\). Comme \(\ell \geq 0\), \(\ell = 3\).

16 Une suite homographique ★★★

1. \(u_1 = \dfrac{1}{2}\), \(u_2 = \dfrac{1}{1 + 1/2} = \dfrac{2}{3}\), \(u_3 = \dfrac{1}{1 + 2/3} = \dfrac{3}{5}\), \(u_4 = \dfrac{1}{1 + 3/5} = \dfrac{5}{8}\). Les termes alternent autour de \(0{,}6\).
2. La fonction \(f(x) = \dfrac{1}{1 + x}\) est continue sur \([0\,;+\infty[\) et les termes sont positifs, donc \(\ell \geq 0\) et \(\ell = \dfrac{1}{1 + \ell}\), soit \(\ell^2 + \ell - 1 = 0\). Les racines sont \(\dfrac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}\) ; la positive est \(\ell = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 0{,}618\).

17 Équation avec logarithme ★★★

1. \(f'(x) = 1 + \dfrac{1}{x} > 0\) : \(f\) est strictement croissante. En \(0^+\), \(\ln x \to -\infty\) donc \(f(x) \to -\infty\) ; en \(+\infty\), \(f(x) \to +\infty\).
2. \(f\) est continue et strictement croissante sur \(]0\,;+\infty[\), de limites \(-\infty\) et \(+\infty\) : tout réel, en particulier \(2\), a un unique antécédent \(\alpha\).
3. \(f(1) = 1 < 2\) et \(f(2) \approx 2{,}693 > 2\) : \(\alpha \in [1\,;2]\). \(f(1{,}5) \approx 1{,}905\) et \(f(1{,}6) \approx 2{,}070\) : \(\alpha \in [1{,}5\,;1{,}6]\). \(f(1{,}55) \approx 1{,}988 < 2\) et \(f(1{,}56) \approx 2{,}005 > 2\) : \(1{,}55 < \alpha < 1{,}56\).

18 Selon la valeur de k ★★★

1. \(f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)\). \(f\) croît sur \([-2\,;-1]\) de \(f(-2) = -2\) à \(f(-1) = 2\), décroît sur \([-1\,;1]\) de \(2\) à \(f(1) = -2\), croît sur \([1\,;2]\) de \(-2\) à \(f(2) = 2\).
2. Sur chaque intervalle de monotonie, \(f\) est continue et strictement monotone, donc prend chaque valeur de son image au plus une fois. Si \(k < -2\) ou \(k > 2\) : aucune solution. Si \(k = \pm 2\) : deux solutions (par exemple pour \(k = 2\), \(x = -1\) et \(x = 2\)). Si \(-2 < k < 2\) : trois solutions, une par intervalle.
3. Pour \(k = 1\) : trois solutions ; pour \(k = 2\) : deux solutions (\(x^3 - 3x - 2 = (x + 1)^2(x - 2)\)) ; pour \(k = 3\) : aucune.

19 La dichotomie ★★★

1. Étape 1 : \(m = 2{,}5\), \(f(2{,}5) = -0{,}75 < 0\), donc on garde \([2{,}5\,;3]\). Étape 2 : \(m = 2{,}75\), \(f(2{,}75) = 0{,}5625 > 0\), on garde \([2{,}5\,;2{,}75]\). Étape 3 : \(m = 2{,}625\), \(f(2{,}625) \approx -0{,}109 < 0\), on garde \([2{,}625\,;2{,}75]\).
2. L’amplitude de départ est \(1\) et elle est divisée par \(2\) à chaque étape : \(\dfrac{1}{2^n}\).
3. On veut \(\dfrac{1}{2^n} < 10^{-3}\), donc \(2^n > 1000\). Comme \(2^9 = 512\) et \(2^{10} = 1024\), il faut \(n = 10\) étapes.

20 Un prolongement subtil ★★★

Pour tout \(x \neq 0\), \(-1 \leq \sin\left(\dfrac{1}{x}\right) \leq 1\), donc \(|f(x)| \leq |x|\), c’est-à-dire \(-|x| \leq f(x) \leq |x|\).

Comme \(\lim_{x \to 0} |x| = 0\), le théorème des gendarmes donne \(\lim_{x \to 0} f(x) = 0\). La continuité en \(0\) exige \(f(0) = 0\), donc \(c = 0\).

21 Un point fixe ★★★

1. \(g(0) = f(0) - 0 = f(0) \geq 0\) car \(f(0) \in [0\,;1]\). \(g(1) = f(1) - 1 \leq 0\) car \(f(1) \leq 1\).
2. \(g\) est continue sur \([0\,;1]\), avec \(g(0) \geq 0 \geq g(1)\) : par le TVI, \(g(c) = 0\) pour un \(c\) de \([0\,;1]\), c’est-à-dire \(f(c) = c\).
3. Posons \(g(x) = \cos x - x\), continue sur \([0\,;1]\). \(g(0) = 1 > 0\) et \(g(1) = \cos 1 - 1 \approx -0{,}46 < 0\). De plus \(g'(x) = -\sin x - 1 \leq -1 < 0\) car \(\sin x \geq 0\) sur \([0\,;1]\) : \(g\) est strictement décroissante. Le corollaire donne une unique solution.