Topologie des espaces vectoriels normés : corrigé du contrôle de maths Maths Spé à télécharger en PDF

1 Une norme sur \(\mathbb{R}^2\) / 4 pts

1) Homogénéité : \(N(\lambda(x,y)) = |\lambda|\,N(x,y)\). Inégalité triangulaire : somme de deux valeurs absolues de formes linéaires. Séparation : \(N = 0\) donne \(y = 0\) puis \(2x = 0\), donc \((x,y) = 0\). (2 pts)

2) Avec \(u = 2x + y\) et \(v = y\), la condition devient \(|u| + |v| \le 1\), de sommets \((\pm1,0)\), \((0,\pm1)\) en \((u,v)\). Comme \(x = \tfrac{u - v}{2}\), les sommets en \((x,y)\) sont \(\left(\tfrac12, 0\right)\), \(\left(-\tfrac12, 0\right)\), \(\left(-\tfrac12, 1\right)\), \(\left(\tfrac12, -1\right)\). L’aire vaut \(\dfrac{2}{2} = 1\) (le losange \(|u|+|v| \le 1\) d’aire \(2\), divisé par le déterminant \(2\) du changement de variable). (1 pt)

3) \(|y| \le N\) et \(2|x| \le |2x + y| + |y| = N\), donc \(N_\infty \le N\), égalité pour \((-1,2)\) (\(N = 0 + 2 = 2 = N_\infty\)). Et \(|2x + y| \le 3N_\infty\), \(|y| \le N_\infty\), donc \(N \le 4N_\infty\), égalité pour \((1,1)\) (\(N = 3 + 1 = 4\)). (1 pt)

2 Une suite particulière / 4 pts

1) Aucun intervalle ouvert non vide ne tient dans \(A\) qui est dénombrable (ou : autour de \(\tfrac1n\) il y a des réels qui ne sont pas de la forme \(\tfrac1m\)). Donc \(\mathring{A} = \varnothing\). (1 pt)

2) \(\tfrac1n \to 0\) avec \(\tfrac1n \in A\) donc \(0 \in \overline{A}\). Les points \(\tfrac1n\) sont dans \(A\). Un réel \(x \notin A \cup \{0\}\) n’est pas limite d’une suite de \(A\) : une suite de \(A\) qui converge est soit stationnaire (limite dans \(A\)) soit de dénominateurs tendant vers \(+\infty\) (limite \(0\)). Donc \(\overline{A} = A \cup \{0\}\). (2 pts)

3) \(A \ne \overline{A}\) : \(A\) n’est pas fermée. \(A \cup \{0\} = \overline{A}\) est fermé et contenu dans \([0,1]\), donc borné : compact en dimension finie. (1 pt)

3 Extrema sous contraintes / 3 pts

1) \(K\) est l’intersection de deux images réciproques de fermés par des fonctions continues : fermé. Il est inclus dans la boule de rayon \(2\) : borné. En dimension finie, \(K\) est compact. (1 pt)

2) \(g\) est continue sur le compact \(K\) non vide (\((1,0) \in K\)) : extrema atteints. Le maximum : par Cauchy-Schwarz \(x + y \le \sqrt2 \sqrt{x^2 + y^2} \le 2\sqrt2\), atteint en \((\sqrt2, \sqrt2)\) qui est dans \(K\) : maximum \(2\sqrt2\). (1 pt) Le minimum : sur \(K\), \(g \ge 1\), et \(g(1,0) = 1\) avec \((1,0) \in K\) : minimum \(1\). (1 pt)

4 Deux normes non équivalentes / 3 pts

1) \(g_n(0) = 1\) et \(0 \le g_n \le 1\) : \(\|g_n\|_\infty = 1\). La courbe de \(g_n\) est un triangle de base \(\tfrac1n\) et de hauteur \(1\) : \(\|g_n\|_1 = \tfrac12 \times \tfrac1n \times 1 = \tfrac1{2n}\). (2 pts)

2) Si \(\|f\|_\infty \le C\|f\|_1\) pour tout \(f\), alors \(1 \le \tfrac{C}{2n}\), soit \(n \le \tfrac C2\) pour tout \(n\) : absurde. (1 pt)

5 Évaluation en zéro / 3 pts

1) \(|T(f)| = |f(0)| \le \|f\|_\infty\), donc \(T\) est continue de norme \(\le 1\) ; pour \(f = 1\) on a \(T(f) = 1 = \|f\|_\infty\), donc \(\|T\| = 1\). (1 pt)

2) \(T(h_n) = 1\) et \(\|h_n\|_1 = \int_0^1 (1-t)^n\,dt = \tfrac1{n+1}\). Donc \(\dfrac{|T(h_n)|}{\|h_n\|_1} = n + 1\) n’est pas borné : aucune constante \(C\) ne vérifie \(|T(f)| \le C\|f\|_1\), \(T\) n’est pas continue pour \(\|\cdot\|_1\). (2 pts)

6 Un point fixe à approcher / 3 pts

1) \(|f'(x)| = \tfrac14|\cos x| \le \tfrac14\) : \(f\) est \(\tfrac14\)-lipschitzienne donc contractante sur \(\mathbb{R}\) complet. Le théorème de Banach donne un unique point fixe. (1 pt)

2) \(u_1 - u_0 = \tfrac14 \sin 2 \approx 0{,}2273\). La majoration est \(|u_n - \ell| \le \dfrac{(1/4)^n}{3/4} \times 0{,}2273 \approx 0{,}3031 \times 4^{-n}\). Pour \(n = 12\) : \(\approx 1{,}8 \times 10^{-8}\), insuffisant ; pour \(n = 13\) : \(\approx 4{,}5 \times 10^{-9} \le 10^{-8}\). Le plus petit entier est \(n = 13\). (2 pts)