Séries entières : exercices de maths Maths Spé à télécharger en PDF

1 Une série géométrique en x/3 ★★★

Déterminer le rayon de convergence de \(\sum_{n\geq0}\dfrac{x^n}{3^n}\), puis calculer sa somme lorsque \(x=1{,}5\).

2 Rayon 1 et bornes ★★★

Soit la série \(\sum_{n\geq0}\dfrac{n+1}{n+4}x^n\). Déterminer son rayon de convergence puis étudier la convergence en \(x=1\) et en \(x=-1\).

3 Série de l’exponentielle ★★★

Déterminer le rayon de \(\sum\dfrac{x^n}{n!}\), puis donner une valeur approchée de \(e\) avec les cinq premiers termes (de \(n=0\) à \(n=4\)) en \(x=1\).

4 Somme d’une série géométrique ★★★

Pour \(|x|\lt2\), calculer \(S(x)=\sum_{n\geq0}\left(\dfrac{x}{2}\right)^n\). Que vaut \(S(1)\) ? \(S(-1)\) ?

5 Vrai ou faux ★★★

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier.

1. Si \(\sum a_n\) converge, alors le rayon de \(\sum a_nx^n\) est au moins égal à 1.
2. Si le rayon vaut 2, alors \(\sum a_n2^n\) converge.
3. Le rayon de \(\sum n!\,x^n\) est nul.

6 Développer 1/(1 + x²) ★★★

Développer en série entière \(\dfrac{1}{1+x^2}\) en précisant le rayon, puis calculer la somme pour \(x=\dfrac12\) et comparer à la somme des quatre premiers termes.

7 Dériver une série géométrique ★★★

En dérivant \(\sum_{n\geq0}x^n=\dfrac1{1-x}\) terme à terme, calculer \(\sum_{n\geq1}nx^n\) pour \(|x|\lt1\), puis \(\sum_{n\geq1}\dfrac{n}{2^n}\).

8 Coefficients binomiaux centraux ★★★

Déterminer le rayon de convergence de \(\sum_{n\geq0}\binom{2n}{n}x^n\).

9 Une série lacunaire et sa somme ★★★

On pose \(f(x)=\sum_{n\geq0}\dfrac{x^{2n}}{4^n(n+1)}\).

1. Déterminer le rayon de convergence.
2. Pour \(0\lt|x|\lt2\), exprimer \(f(x)\) avec une fonction usuelle, puis calculer \(f(1)\).

10 Fractions rationnelles ★★★

Développer en série entière \(\dfrac{1}{(1-x)(1-2x)}\) à l’aide d’une décomposition en éléments simples, puis par produit de Cauchy. Donner le rayon.

11 Somme par produit de Cauchy ★★★

Montrer que, pour \(|x|\lt1\), \(\sum_{n\geq0}(n+1)x^n=\dfrac1{(1-x)^2}\). En déduire \(\sum_{n\geq0}\dfrac{n+1}{3^n}\) puis \(\sum_{n\geq1}\dfrac n{3^n}\).

12 Valeur approchée de ln(3/2) ★★★

Écrire le développement en série entière de \(\ln(1+x)\), puis donner une valeur approchée de \(\ln\dfrac32\) avec cinq termes et un majorant de l’erreur.

13 Somme de n² x^n ★★★

Calculer \(\sum_{n\geq1}n^2x^n\) pour \(|x|\lt1\) en dérivant \(\sum nx^n=\dfrac{x}{(1-x)^2}\). En déduire \(\sum_{n\geq1}\dfrac{n^2}{3^n}\).

14 Sommes liées à ch 1 et sh 1 ★★★

Calculer en fonction de \(e\) les sommes \(\sum_{n\geq0}\dfrac1{(2n)!}\) et \(\sum_{n\geq0}\dfrac1{(2n+1)!}\), puis donner des valeurs approchées.

15 Équation y″ − 4y = 0 ★★★

Résoudre \(y''-4y=0\) avec \(y(0)=0\), \(y'(0)=2\), en cherchant \(y\) sous forme de série entière. Reconnaître la somme.

16 Équation (1 + x) y′ = y/2 ★★★

On considère \((1+x)y'=\dfrac12y\) avec \(y(0)=1\).

1. Trouver la relation de récurrence sur les coefficients d’une solution en série entière, calculer \(a_0,\dots,a_3\) et le rayon.
2. Reconnaître la solution, puis donner une valeur approchée de \(\sqrt{1{,}1}\) avec les quatre premiers termes.

17 Une fonction C∞ non développable ★★★

Soit \(f(x)=e^{-1/x^2}\) si \(x\neq0\) et \(f(0)=0\). On admet que \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^\infty\) sur \(\mathbb{R}\) avec \(f^{(k)}(0)=0\) pour tout \(k\) (on montre que \(f^{(k)}(x)=P_k(1/x)e^{-1/x^2}\) pour un polynôme \(P_k\), puis on utilise les croissances comparées).

Écrire la série de Taylor de \(f\) en 0 et expliquer pourquoi \(f\) n’est pas développable en série entière.

18 Exponentielle complexe et équation ★★★

1. Écrire sous forme algébrique \(e^{2+i\pi/3}\).
2. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(e^{z}=1+i\sqrt3\).
3. Montrer que pour tout complexe \(z\), \(|e^{z}|=e^{\operatorname{Re}z}\).

19 Rayon de Σ n!/nⁿ xⁿ ★★★

Déterminer le rayon de convergence de \(\sum_{n\geq1}\dfrac{n!}{n^n}x^n\). Que peut-on dire de la série en \(x=3\) ?

20 La série de argth ★★★

On pose \(S(x)=\sum_{n\geq0}\dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}\).

1. Déterminer le rayon de convergence de \(S\).
2. Calculer \(S'(x)\) puis en déduire \(S(x)\) avec un logarithme.
3. Calculer \(S\left(\dfrac12\right)\).

21 Une équation à coefficient variable ★★★

Soit l’équation \(y''-2xy'-2y=0\) avec \(y(0)=0\), \(y'(0)=1\). Chercher une solution en série entière : trouver la récurrence, calculer \(a_0,\dots,a_5\) et justifier que le rayon est infini.