Topologie des espaces métriques et normés : exercices corrigés de maths Licence L2 à télécharger en PDF

1 Calculer des normes dans \(\mathbb{R}^3\) ★★★

1. \(\|x\|_1=2+3+6=11\) ; \(\|x\|_2=\sqrt{4+9+36}=\sqrt{49}=7\) ; \(\|x\|_\infty=\max(2,3,6)=6\).
2. \(x-y=(3,-4,4)\), donc \(\|x-y\|_1=3+4+4=11\), \(\|x-y\|_2=\sqrt{9+16+16}=\sqrt{41}\) et \(\|x-y\|_\infty=4\). On retrouve bien \(4\le\sqrt{41}\le11\).

2 Norme ou pas norme ? ★★★

\(N_1\) est une norme : \(N_1(x,y)=0\) force \(x=y=0\) ; \(N_1(\lambda(x,y))=|\lambda|N_1(x,y)\) ; l’inégalité triangulaire découle de celle de la valeur absolue sur chaque terme.

\(N_2\) n’en est pas une : \(N_2(1,1)=0\) alors que \((1,1)\ne(0,0)\) (la séparation échoue).

\(N_3\) n’en est pas une : \(N_3(2x,2y)=4N_3(x,y)\ne2N_3(x,y)\) dès que \((x,y)\ne0\) (l’homogénéité échoue).

3 Boules dans \(\mathbb{R}\) et aires de boules ★★★

1. \(B(3,2)=\{x : |x-3|<2\}=\,]1,5[\) et \(B_f(-1,\tfrac12)=[-\tfrac32,-\tfrac12]\).
2. La boule unité pour \(\|\cdot\|_1\) est le losange de sommets \((\pm1,0)\) et \((0,\pm1)\) : ses diagonales valent \(2\) et \(2\), l’aire est \(\dfrac{2\times2}{2}=2\). Pour \(\|\cdot\|_\infty\), c’est le carré \([-1,1]^2\) de côté \(2\), d’aire \(4\).

4 Ouvert, fermé, ni l’un ni l’autre ★★★

\(A\) est un intervalle ouvert : ouvert. \(B\) est un segment : fermé. \(C=\,]0,1]\) n’est pas ouvert (\(1\) n’a pas de voisinage inclus dans \(C\)) ni fermé (\(0\) est limite de \(\tfrac1n\in C\) mais \(0\notin C\)) : ni l’un ni l’autre.

\(D\) : la suite \(\tfrac1n\) tend vers \(0\notin D\), donc \(D\) n’est pas fermé ; aucun point de \(D\) n’a de boule incluse dans \(D\), donc \(D\) n’est pas ouvert : ni l’un ni l’autre. \(E=\mathbb{N}\) est fermé (son complémentaire est une réunion d’intervalles ouverts) et n’est pas ouvert (une boule autour de \(0\) contient des réels non entiers).

5 Intérieur, adhérence, frontière ★★★

Pour \(A\) : \(\mathring{A}=\,]0,1[\) (le point \(2\) est isolé, aucune boule autour de lui n’est dans \(A\)) ; \(\overline{A}=[0,1]\cup\{2\}\) ; frontière \(=\{0,1,2\}\).

Pour \(B\) : tout intervalle ouvert contient des irrationnels, donc \(\mathring{B}=\emptyset\) ; tout point de \([0,1]\) est limite de rationnels de \([0,1]\), et \(B\subset[0,1]\) fermé, donc \(\overline{B}=[0,1]\) ; frontière \(=[0,1]\).

6 Limites de suites dans le plan ★★★

On passe composante par composante. \(\dfrac{3n+1}{n+2}\to3\) et \(\dfrac{(-1)^n}{n}\to0\) : \(u_n\to(3,0)\). Pour \(v_n\), \(n\sin\tfrac1n=\dfrac{\sin(1/n)}{1/n}\to1\) et \(e^{-n}\to0\) : \(v_n\to(1,0)\).

Enfin \(\dfrac{3n+1}{n+2}-3=\dfrac{-5}{n+2}\), donc \(\|u_n-(3,0)\|_\infty=\max\left(\dfrac5{n+2},\dfrac1n\right)=\dfrac5{n+2}\) pour \(n\ge1\), qui tend bien vers \(0\).

7 Continuité de la norme ★★★

Par l’inégalité triangulaire, \(\|x\|\le\|x-y\|+\|y\|\) et \(\|y\|\le\|x-y\|+\|x\|\), d’où \(\big|\|x\|-\|y\|\big|\le\|x-y\|\) : la norme est 1-lipschitzienne, donc continue (prendre \(\delta=\varepsilon\)).

Ici \(\|x\|_2=5\), \(\|y\|_2=\sqrt{9{,}61+15{,}21}=\sqrt{24{,}82}\approx4{,}982\), donc \(\big|\|x\|-\|y\|\big|\approx0{,}018\), alors que \(\|x-y\|_2=\sqrt{0{,}01+0{,}01}\approx0{,}141\). L’inégalité \(0{,}018\le0{,}141\) est bien vérifiée.

8 Chaîne d’inégalités entre trois normes du plan ★★★

Posons \(x=(a,b)\). (1) \(\max(a^2,b^2)\le a^2+b^2\) donne \(\|x\|_\infty\le\|x\|_2\) ; égalité pour \((1,0)\). (2) \((|a|+|b|)^2=a^2+b^2+2|ab|\ge a^2+b^2\) donne \(\|x\|_2\le\|x\|_1\) ; égalité pour \((1,0)\).

(3) \(2(a^2+b^2)-(|a|+|b|)^2=(|a|-|b|)^2\ge0\), donc \(\|x\|_1\le\sqrt2\,\|x\|_2\) ; égalité pour \((1,1)\). (4) \(\|x\|_2\le\sqrt2\,\|x\|_\infty\) car \(a^2+b^2\le2\max(a^2,b^2)\), donc \(\sqrt2\,\|x\|_2\le2\|x\|_\infty\) ; égalité pour \((1,1)\). Les normes sont donc équivalentes avec des constantes optimales.

9 Un ouvert défini par deux inégalités ★★★

Les applications \((x,y)\mapsto xy\) et \((x,y)\mapsto x\) sont continues. Donc \(\{xy>1\}\), image réciproque de l’ouvert \(]1,+\infty[\), et \(\{x>0\}\), image réciproque de \(]0,+\infty[\), sont ouverts ; leur intersection \(A\) est un ouvert.

Pour montrer que \(A\) n’est pas fermé, considérons \(a_n=(1+\tfrac1n,1)\) : \(xy=1+\tfrac1n>1\) et \(x>0\), donc \(a_n\in A\), et \(a_n\to(1,1)\). Or \(1\times1=1\not>1\) : \((1,1)\notin A\). La limite d’une suite de \(A\) n’est pas dans \(A\) : \(A\) n’est pas fermé.

10 Densité des nombres dyadiques ★★★

Soit \(x\in\mathbb{R}\) et \(d_k=\dfrac{\lfloor2^kx\rfloor}{2^k}\in D\). Comme \(\lfloor2^kx\rfloor\le2^kx<\lfloor2^kx\rfloor+1\), on a \(0\le x-d_k<2^{-k}\). Donc \(d_k\to x\) : tout réel est limite d’une suite de \(D\), c’est-à-dire \(\overline{D}=\mathbb{R}\).

Si \(f\) est continue et nulle sur \(D\), alors \(f(x)=\lim f(d_k)=\lim0=0\) pour tout \(x\), par continuité séquentielle.

11 Norme d’une forme linéaire selon la norme choisie ★★★

Pour \(\|\cdot\|_1\) : \(|2x-5y|\le2|x|+5|y|\le5(|x|+|y|)\), égalité pour \((0,1)\) : \(\|u\|=5\).

Pour \(\|\cdot\|_\infty\) : \(|2x-5y|\le7\max(|x|,|y|)\), égalité pour \((1,-1)\) car \(u(1,-1)=7\) : \(\|u\|=7\).

Pour \(\|\cdot\|_2\) : par Cauchy-Schwarz, \(|2x-5y|\le\sqrt{4+25}\,\|(x,y)\|_2=\sqrt{29}\,\|(x,y)\|_2\), égalité pour \(\tfrac{(2,-5)}{\sqrt{29}}\) : \(\|u\|=\sqrt{29}\). La norme d’opérateur dépend donc des normes choisies, mais reste finie dans les trois cas.

12 Parties compactes du plan ★★★

En dimension finie, compact \(\iff\) fermé borné.

(a) Boule fermée : fermée et bornée, compacte. (b) Fermée (image réciproque de \(\{1\}\) par \((x,y)\mapsto xy\)) mais non bornée : \((n,\tfrac1n)\) a une norme qui tend vers l’infini ; non compacte. (c) Bornée mais non fermée : \((1,0)\) est limite de \((1-\tfrac1n,0)\) sans appartenir à l’ensemble ; non compacte.

(d) Réunion de deux compacts (le cercle est fermé borné, un point aussi) : compacte. (e) Image du compact \([0,10]\) par l’application continue \(x\mapsto(x,\sin x)\) : compacte.

13 Suites de Cauchy : une série et la série harmonique ★★★

1. Pour \(k\ge2\), \(\dfrac1{k^2}\le\dfrac1{k(k-1)}=\dfrac1{k-1}-\dfrac1k\). Par télescopage, \(u_m-u_n=\sum_{k=n+1}^m\dfrac1{k^2}\le\dfrac1n-\dfrac1m<\dfrac1n\). Pour \(\varepsilon>0\) et \(N>1/\varepsilon\), \(m>n\ge N\Rightarrow|u_m-u_n|<\varepsilon\) : suite de Cauchy. Comme \(\mathbb{R}\) est complet, \((u_n)\) converge.
2. \(H_{2n}-H_n=\sum_{k=n+1}^{2n}\dfrac1k\ge n\times\dfrac1{2n}=\dfrac12\). Pour \(\varepsilon=\tfrac12\), aucun rang \(N\) ne convient (prendre \(n=N\), \(m=2N\)) : \((H_n)\) n’est pas de Cauchy, donc diverge.

14 Le plan privé de l’origine est connexe par arcs ★★★

Soient \(a,b\ne0\). Si \(0\notin[a,b]\), le chemin \(\gamma(t)=(1-t)a+tb\) convient. Sinon \(0\in[a,b]\) et \(b=-\lambda a\) avec \(\lambda>0\). Posons \(c=(-a_2,a_1)\), non nul et non colinéaire à \(a\). Les points \((1-t)a+tc\) sont non nuls (combinaison de deux vecteurs indépendants à coefficients non tous nuls), et de même \((1-t)c+tb\) puisque \(b\) est colinéaire à \(a\). La concaténation de ces deux segments relie \(a\) à \(b\) dans \(\mathbb{R}^2\setminus\{0\}\).

Dans \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\), un chemin continu \(\gamma\) de \(-1\) à \(1\) prendrait par le théorème des valeurs intermédiaires la valeur \(0\) : impossible.

15 Normes non équivalentes sur les fonctions continues ★★★

\(g_n\) est continue, vaut \(1\) en \(0\) et \(0\) à partir de \(t=\tfrac1n\) : \(\|g_n\|_\infty=1\). Son graphe est un triangle de base \(\tfrac1n\) et de hauteur \(1\) : \(\|g_n\|_1=\dfrac{1}{2n}\).

On a toujours \(\|f\|_1\le\|f\|_\infty\). Mais s’il existait \(C\) avec \(\|f\|_\infty\le C\|f\|_1\), on aurait \(1\le\dfrac{C}{2n}\) pour tout \(n\), absurde. Les deux normes ne sont pas équivalentes : le théorème de la dimension finie ne s’applique pas à \(C([0,1])\), de dimension infinie.

16 Distance discrète ★★★

1. \(B(a,1)=\{a\}\) (car \(d(a,x)<1\iff x=a\)), \(B(a,2)=E\) et \(B_f(a,1)=E\).
2. Pour toute partie \(A\) et tout \(a\in A\), \(B(a,1)=\{a\}\subset A\) : \(A\) est ouverte. Son complémentaire l’est aussi, donc \(A\) est fermée.
3. \(u_n\to\ell\iff d(u_n,\ell)\to0\iff u_n=\ell\) à partir d’un certain rang : les suites convergentes sont les suites stationnaires. \(\{a\}\) étant fermé, \(\overline{B(a,1)}=\{a\}\ne E=B_f(a,1)\) : l’adhérence de la boule ouverte n’est pas la boule fermée.

17 Une distance qui rend \(\mathbb{R}\) non complet ★★★

1. La symétrie est évidente. Si \(d(x,y)=0\), \(\arctan x=\arctan y\), et comme \(\arctan\) est injective (strictement croissante), \(x=y\). Inégalité triangulaire : \(|\arctan x-\arctan z|\le|\arctan x-\arctan y|+|\arctan y-\arctan z|\) par l’inégalité triangulaire de \(\mathbb{R}\).
2. \(d(0,x)=|\arctan x|<\tfrac\pi4\iff|x|<1\) car \(\arctan1=\tfrac\pi4\) et \(\arctan\) est croissante. Donc \(B(0,\tfrac\pi4)=\,]-1,1[\).
3. \(\arctan n\to\tfrac\pi2\), donc \(d(n,m)=|\arctan n-\arctan m|\to0\) quand \(n,m\to\infty\) : suite de Cauchy. Si elle convergeait vers \(\ell\in\mathbb{R}\), on aurait \(\arctan n\to\arctan\ell<\tfrac\pi2\), ce qui contredit \(\arctan n\to\tfrac\pi2\). Donc \((\mathbb{R},d)\) n’est pas complet, alors que \((\mathbb{R},|\cdot|)\) l’est : la complétude dépend de la distance, pas seulement de la topologie.

18 Un maximum sur un compact défini par deux contraintes ★★★

1. \(F\) est l’intersection des images réciproques des fermés \(]-\infty,4]\) et \([0,+\infty[\) par les applications continues \((x,y)\mapsto x^2+y^2\) et \((x,y)\mapsto y-x^2+2\) : c’est un fermé. Il est contenu dans la boule fermée de rayon \(2\) : il est borné. Donc \(F\) est compact.
2. \(f\) est continue sur le compact \(F\) (non vide, car \((0,0)\in F\)) : elle atteint son maximum. Le point \((\sqrt3,1)\) est dans \(F\) car \(3+1=4\le4\) et \(1\ge3-2\). Montrons \(x\le\sqrt3\) sur \(F\) : si \(x>\sqrt3\), alors \(x^2-2>1\), donc \(y\ge x^2-2>1\) et \(y^2>1\), d’où \(x^2+y^2>3+1=4\), impossible. Le maximum de \(f\) vaut donc \(\sqrt3\), atteint en \((\sqrt3,1)\).

19 Forme linéaire continue ou non selon la norme ★★★

1. \(|\varphi(f)|\le\int_0^1|f|\le\|f\|_\infty\) et \(|\psi(f)|\le\|f\|_\infty\) : les deux sont continues de norme \(\le1\). Pour \(f=1\), \(\varphi(f)=\psi(f)=1=\|f\|_\infty\) : \(\|\varphi\|=\|\psi\|=1\).
2. \(|\varphi(f)|\le\|f\|_1\), égalité pour \(f=1\) : \(\varphi\) est continue de norme \(1\). Pour \(\psi\), \(f_n\) est continue, \(f_n(\tfrac12)=1\), et son graphe est un triangle de base \(\tfrac2n\) et de hauteur \(1\) contenu dans \([0,1]\) : \(\|f_n\|_1=\tfrac1n\). Ainsi \(\dfrac{|\psi(f_n)|}{\|f_n\|_1}=n\) n’est pas borné : \(\psi\) n’est pas continue pour \(\|\cdot\|_1\), alors qu’elle l’est pour \(\|\cdot\|_\infty\).

20 Point fixe de \(x\mapsto1+\dfrac1{1+x^2}\) ★★★

1. \(f\) est décroissante : \(f(2)=\tfrac65\le f(x)\le f(1)=\tfrac32\), donc \(f(F)\subset[\tfrac65,\tfrac32]\subset F\). On a \(f'(x)=-\dfrac{2x}{(1+x^2)^2}\) ; la fonction \(g(x)=\dfrac{2x}{(1+x^2)^2}\) a pour dérivée \(\dfrac{2-6x^2}{(1+x^2)^3}<0\) sur \([1,2]\), donc \(|f'|\le g(1)=\tfrac12\). Par l’inégalité des accroissements finis, \(f\) est \(\tfrac12\)-lipschitzienne.
2. \(F\) est fermé dans \(\mathbb{R}\) complet : le théorème de Banach donne un unique point fixe \(\ell\). Il vérifie \(\ell=1+\dfrac1{1+\ell^2}\), soit \(\ell(1+\ell^2)=1+\ell^2+1\), c’est-à-dire \(\ell^3-\ell^2+\ell-2=0\). Avec \(P(x)=x^3-x^2+x-2\) : \(P(1{,}35)\approx-0{,}0121<0\) et \(P(1{,}36)\approx0{,}0259>0\) ; par le TVI, \(\ell\in[1{,}35\,;\,1{,}36]\).
3. \(u_1=1+\tfrac12=\tfrac32\) et \(u_2=1+\dfrac1{1+9/4}=1+\tfrac4{13}=\tfrac{17}{13}\approx1{,}3077\). La majoration a priori donne \(|u_n-\ell|\le\dfrac{(1/2)^n}{1-1/2}\,|u_1-u_0|=\dfrac{(1/2)^n}{1/2}\times\dfrac12=2^{-n}\). Comme \(2^{-10}=\tfrac1{1024}<10^{-3}\), \(n=10\) suffit.

21 Image d’un cercle par une forme linéaire ★★★

1. L’application \(\gamma(t)=(\cos2\pi t,\sin2\pi t)\) est continue de \([0,1]\) dans \(\mathcal{C}\) et surjective sur \(\mathcal{C}\). Pour deux points \(\gamma(s)\) et \(\gamma(t)\), le chemin \(\tau\mapsto\gamma((1-\tau)s+\tau t)\) les relie : \(\mathcal{C}\) est connexe par arcs.
2. \(f\) est continue : \(f(\mathcal{C})\) est connexe par arcs dans \(\mathbb{R}\), donc un intervalle. Par Cauchy-Schwarz, \(|f(x,y)|\le\sqrt5\) sur \(\mathcal{C}\). Pour \(\varphi\) tel que \(\cos\varphi=\tfrac1{\sqrt5}\) et \(\sin\varphi=\tfrac2{\sqrt5}\), on a \(f(\cos t,\sin t)=\sqrt5\cos(t-\varphi)\), qui vaut \(\sqrt5\) en \(t=\varphi\) et \(-\sqrt5\) en \(t=\varphi+\pi\). Donc \(f(\mathcal{C})=[-\sqrt5,\sqrt5]\).

22 \((C([0,1]),\|\cdot\|_1)\) n’est pas complet ★★★

1. L’aire sous \(f_n\) se compose d’un triangle de base \(\tfrac1n\) et de hauteur \(1\), soit \(\tfrac1{2n}\), et d’un rectangle de largeur \(\tfrac12-\tfrac1n\) et de hauteur \(1\) : \(\int_0^1f_n=\tfrac12-\tfrac1{2n}\). Pour \(m\ge n\), \(f_m\ge f_n\) (la pente de \(f_m\) est plus forte), donc \(\|f_m-f_n\|_1=\int f_m-\int f_n=\tfrac1{2n}-\tfrac1{2m}<\tfrac1{2n}\), qui tend vers \(0\) : la suite est de Cauchy.
2. Supposons \(\|f_n-f\|_1\to0\) avec \(f\) continue. Comme \(f_n=0\) sur \([0,\tfrac12]\), \(\int_0^{1/2}|f|\le\|f_n-f\|_1\to0\) ; \(|f|\) étant continue, positive et d’intégrale nulle, \(f=0\) sur \([0,\tfrac12]\). De même, pour tout \(a>\tfrac12\), \(f_n=1\) sur \([a,1]\) à partir d’un rang, d’où \(f=1\) sur \([a,1]\), donc sur \(]\tfrac12,1]\). Alors \(f\) vaut \(0\) en \(\tfrac12\) et tend vers \(1\) à droite : elle n’est pas continue, contradiction. L’espace n’est pas complet.