Suites et séries de fonctions : exercices de maths Licence L2 à télécharger en PDF

1 Fonction qui se raidit ★★★

Pour \( x\ge 0 \), on pose \( f_n(x)=\dfrac{nx}{1+nx} \).

1. Déterminer la limite simple \( f \) de \( (f_n) \) sur \( [0,+\infty[ \).
2. La convergence est-elle uniforme sur \( [0,+\infty[ \) ?
3. Montrer qu’elle l’est sur \( [\tfrac12,+\infty[ \).

2 Exponentielle décroissante ★★★

Sur \( ]0,+\infty[ \), on pose \( g_n(x)=e^{-nx} \).

1. Quelle est la limite simple ?
2. Montrer que la convergence n’est pas uniforme sur \( ]0,+\infty[ \) (on pourra prendre \( x_n=\ln 2/n \)).
3. Sur \( [\tfrac15,+\infty[ \), à partir de quel rang a-t-on \( \|g_n\|_\infty\le 10^{-2} \) ?

3 Un rang explicite ★★★

Sur \( [0;0{,}8] \), \( f_n(x)=x^n \). Déterminer le plus petit entier \( N \) tel que, pour \( n\ge N \), \( |f_n(x)|\le 10^{-3} \) pour tous les \( x \) de \( [0;0{,}8] \).

4 Vrai ou faux ? ★★★

Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse, en justifiant.

1. Une suite de fonctions qui converge uniformément sur \( I \) converge simplement sur \( I \).
2. La limite simple d’une suite de fonctions continues est continue.
3. Si \( \|f_n-f\|_\infty\to 0 \), alors \( f_n(x_0)\to f(x_0) \) pour tout \( x_0\in I \).

5 Un sinus qui s’étire ★★★

On pose \( h_n(x)=\sin\!\left(\dfrac xn\right) \).

1. Montrer que \( (h_n) \) converge uniformément vers 0 sur \( [0,10] \).
2. Montrer qu’elle ne converge pas uniformément vers 0 sur \( \mathbb{R} \).

6 Série de cosinus ★★★

Soit \( S(x)=\sum_{n\ge1}\dfrac{\cos(nx)}{n^3} \).

1. Montrer que la série converge normalement sur \( \mathbb{R} \) et que \( S \) est continue.
2. Montrer que \( |S(x)-S_N(x)|\le \dfrac1{2N^2} \), où \( S_N \) est la somme partielle jusqu’à l’indice \( N \).
3. Quel \( N \) garantit une erreur d’au plus \( 10^{-3} \) ?

7 Série entière sur le segment ★★★

Soit \( S(x)=\sum_{n\ge1}\dfrac{x^n}{n^2} \) sur \( [-1,1] \).

1. Montrer que la convergence est normale sur \( [-1,1] \).
2. En déduire que \( S \) est continue sur \( [-1,1] \), puis calculer \( S(0) \) et encadrer \( S \).

8 Un pic qui s’amincit ★★★

Sur \( \mathbb{R} \), \( f_n(x)=\dfrac{nx}{1+n^2x^2} \).

1. Déterminer la limite simple.
2. Calculer \( \|f_n\|_\infty \) et conclure sur la convergence uniforme sur \( \mathbb{R} \).
3. Montrer la convergence uniforme sur \( [a,+\infty[ \) pour tout \( a\gt 0 \).

9 Borne par étude de fonction ★★★

Sur \( [0,1] \), \( f_n(x)=x^n(1-x) \).

1. Étudier les variations de \( f_n \) et calculer \( \|f_n\|_\infty \).
2. Montrer que \( \|f_n\|_\infty\le\dfrac1{n+1} \). Conclure.
3. Donner la valeur de \( \|f_3\|_\infty \).

10 Dérivées qui divergent ★★★

Soit \( f_n(x)=\dfrac{\sin(nx)}n \) sur \( \mathbb{R} \).

1. Montrer que \( (f_n) \) converge uniformément vers 0.
2. Étudier la suite \( (f_n'(x)) \) en \( x=0 \) et en \( x=\pi \).
3. Quelle leçon en tirer sur le théorème de dérivation ?

11 Intégrale qui ne passe pas à la limite ★★★

Sur \( [0,1] \), \( f_n(x)=nx(1-x^2)^n \).

1. Montrer que \( (f_n) \) converge simplement vers 0.
2. Calculer \( I_n=\int_0^1 f_n(x)\,dx \) (poser \( u=1-x^2 \)) et sa limite.
3. Que peut-on conclure sur la convergence uniforme ?

12 Alternée non normale ★★★

Soit \( S(x)=\sum_{n\ge1}\dfrac{(-1)^n}{n+x^2} \) sur \( \mathbb{R} \).

1. La série converge-t-elle normalement sur \( \mathbb{R} \) ?
2. Montrer qu’elle converge uniformément sur \( \mathbb{R} \) (majorer le reste).
3. Que dire de la continuité de \( S \) ?

13 Sommes partielles de l’exponentielle ★★★

Sur \( [0,1] \), \( P_n(x)=\sum_{k=0}^n\dfrac{x^k}{k!} \) et \( f(x)=e^x \).

1. Montrer que \( (P_n) \) converge uniformément vers \( f \) à l’aide du théorème de Dini.
2. Retrouver ce résultat avec une majoration explicite du reste \( \|f-P_n\|_\infty\le\dfrac{e}{(n+1)!} \) (formule de Taylor-Lagrange).
3. Donner le plus petit \( n \) tel que \( \dfrac e{(n+1)!}\le 10^{-4} \).

14 Une intégrale de série ★★★

Justifier puis calculer \( \displaystyle\int_0^{1/2}\left(\sum_{n\ge1}x^n\right)dx \) en intégrant terme à terme, puis retrouver le résultat avec la somme de la série géométrique.

15 Somme d’une série de fractions ★★★

On pose \( S(x)=\sum_{n\ge1}\dfrac1{n^2+x^2} \) sur \( \mathbb{R} \).

1. Montrer que la série converge normalement sur \( \mathbb{R} \) ; en déduire que \( S \) est continue.
2. Montrer que \( S \) est paire et décroissante sur \( [0,+\infty[ \).
3. Calculer \( S(0) \) et en déduire un encadrement de \( S \).

16 Convergence par morceaux ★★★

Sur \( [0,2] \), \( f_n(x)=\dfrac{x^n}{1+x^n} \).

1. Déterminer la limite simple \( f \).
2. Montrer que la convergence n’est pas uniforme sur \( [0,2] \).
3. Montrer qu’elle est uniforme sur \( [0,\tfrac34] \) et sur \( [\tfrac32,2] \).

17 Une série dérivable ★★★

Soit \( S(x)=\sum_{n\ge1}\dfrac{\sin(nx)}{n^3} \).

1. Montrer que \( S \) est définie et continue sur \( \mathbb{R} \).
2. Montrer que \( S \) est de classe \( C^1 \) et donner \( S'(x) \) sous forme de série.
3. Calculer \( S'(0) \).

18 Série sans convergence uniforme ★★★

Pour \( x\ge 0 \), \( u_n(x)=xe^{-nx} \), \( n\ge1 \).

1. Calculer \( \|u_n\|_\infty \). La série \( \sum u_n \) converge-t-elle normalement sur \( [0,+\infty[ \) ?
2. Calculer la somme \( S(x) \) pour \( x\gt 0 \), puis \( S(0) \).
3. Calculer le reste \( R_n(x) \) et en déduire que la convergence n’est pas uniforme sur \( [0,+\infty[ \).
4. Montrer qu’elle l’est sur \( [a,+\infty[ \) pour tout \( a\gt 0 \).

19 Bernstein à la main ★★★

Pour une fonction \( f \) sur \( [0,1] \), \( B_n(f)(x)=\sum_{k=0}^n f(k/n)\binom nk x^k(1-x)^{n-k} \).

1. Calculer \( B_2(f) \) pour \( f(x)=x^2 \) directement avec la formule.
2. On admet \( B_n(f)(x)=x^2+\dfrac{x(1-x)}n \) pour \( f(x)=x^2 \). Calculer \( \|B_n(f)-f\|_\infty \).
3. Combien de degrés \( n \) suffisent pour une erreur d’au plus \( 0{,}01 \) ?

20 Moments nuls ★★★

Soit \( f \) continue sur \( [0,1] \) telle que \( \displaystyle\int_0^1 f(t)\,t^k\,dt=0 \) pour tout entier \( k\ge 0 \). Montrer que \( f=0 \).

21 Les hypothèses de Dini ★★★

Montrer par des exemples que l’on ne peut supprimer aucune des hypothèses du théorème de Dini :

1. limite continue, suite monotone, mais intervalle non compact : \( f_n(x)=\dfrac1{1+nx} \) sur \( ]0,1] \) ;
2. compact, limite continue, mais suite non monotone : \( g_n(x)=nxe^{-nx} \) sur \( [0,1] \) ;
3. compact, suite monotone, mais limite non continue : \( x^n \) sur \( [0,1] \).

22 Une limite non dérivable ★★★

Pour \( x\in\mathbb{R} \), on pose \( f_n(x)=\sqrt{x^2+\tfrac1n} \) (figure : \( n=4 \)).

1. Montrer que \( f_n \) est \( C^1 \) et que \( (f_n) \) converge uniformément sur \( \mathbb{R} \) vers \( f(x)=|x| \).
2. La limite est-elle dérivable ? Expliquer pourquoi le théorème de dérivation ne s’applique pas.