Un triangle, c’est trois points et trois côtés : quoi de plus simple ? Et pourtant, il cache de vraies pépites. Des droites spéciales qui se croisent toutes en un même point, un cercle qui passe par les trois sommets, une règle qui dit si on peut le dessiner ou non… Dans ce chapitre, tu vas apprendre à construire des triangles, à calculer leurs angles et à tracer leurs droites remarquables.
1. Peut-on construire ce triangle ? L’inégalité triangulaire
Pour aller du point \(A\) au point \(B\), le chemin le plus court est la ligne droite. Passer par un troisième point \(C\) rallonge toujours le trajet, sauf si \(C\) est sur le segment \([AB]\). Cette idée donne une règle très utile.
Dans un triangle \(ABC\), la longueur de chaque côté est strictement inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés : \[ AB < AC + CB \qquad AC < AB + BC \qquad BC < BA + AC \]
- Repère le plus grand des trois côtés.
- Calcule la somme des deux autres côtés.
- Si cette somme est strictement plus grande que le grand côté, le triangle existe ; sinon il n’existe pas.
Peut-on construire un triangle de côtés \(4\) cm, \(5\) cm et \(7\) cm ? Le plus grand côté mesure \(7\) cm et \(4 + 5 = 9\). Comme \(7 < 9\), le triangle existe.
Et avec \(3\) cm, \(4\) cm et \(8\) cm ? On a \(3 + 4 = 7\) et \(7 < 8\) : l’inégalité n’est pas vérifiée, le triangle est impossible à construire.
Si la somme des deux petits côtés est égale au grand côté (par exemple \(3 + 4 = 7\)), les trois points sont alignés : on obtient un triangle « aplati », qui n’est pas un vrai triangle.
2. La somme des angles d’un triangle
Dans un triangle, la somme des mesures des trois angles est égale à \(180^\circ\).
Dans le triangle \(ABC\) de la figure, \(\widehat{A} = 50^\circ\) et \(\widehat{B} = 60^\circ\). On calcule \(\widehat{C} = 180^\circ - (50^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\).
Les triangles particuliers donnent des raccourcis :
- isocèle : les deux angles à la base sont égaux ;
- équilatéral : les trois angles mesurent \(60^\circ\) ;
- rectangle : les deux angles aigus sont complémentaires, leur somme vaut \(90^\circ\).
Un triangle isocèle a un angle au sommet de \(36^\circ\). Les deux angles à la base sont égaux et leur somme vaut \(180^\circ - 36^\circ = 144^\circ\). Chacun mesure donc \(144^\circ \div 2 = 72^\circ\).
Un triangle ne peut pas avoir deux angles obtus (plus de \(90^\circ\)) : leur somme dépasserait déjà \(180^\circ\).
3. Médiatrices et cercle circonscrit
La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment, passant par son milieu.
Un point est sur la médiatrice d’un segment \([AB]\) si et seulement si il est à égale distance de \(A\) et de \(B\) : \(MA = MB\).
Dans un triangle, on trace la médiatrice de chacun des trois côtés. Surprise : elles se coupent toutes au même point.
Les trois médiatrices d’un triangle sont concourantes en un point \(O\). Ce point est à égale distance des trois sommets : \(OA = OB = OC\). C’est le centre du cercle circonscrit au triangle, le cercle qui passe par \(A\), \(B\) et \(C\).
- Trace la médiatrice de deux côtés (au compas, ou avec l’équerre et le milieu).
- Place leur point d’intersection \(O\) : la troisième médiatrice passe forcément par lui.
- Pique le compas en \(O\), ouvre-le jusqu’à un sommet et trace le cercle.
Si un triangle est rectangle, le centre de son cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse. Le rayon est donc la moitié de l’hypoténuse.
Un triangle rectangle a une hypoténuse de \(10\) cm. Son cercle circonscrit est centré au milieu de l’hypoténuse et son rayon vaut \(10 \div 2 = 5\) cm.
4. Les hauteurs
Une hauteur d’un triangle est la droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé. Le point où elle coupe ce côté s’appelle le pied de la hauteur.
Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point \(H\), appelé orthocentre.
Dans un triangle obtus, l’orthocentre et certains pieds sont à l’extérieur du triangle : il faut alors prolonger le côté pour tracer la hauteur. Dans un triangle rectangle, l’orthocentre est le sommet de l’angle droit.
Un triangle \(ABC\) a pour base \(BC = 10\) cm et pour hauteur \(AH = 6\) cm. Son aire vaut \(\dfrac{BC \times AH}{2} = \dfrac{10 \times 6}{2} = 30\) cm².
5. Les médianes
Une médiane d’un triangle est le segment qui joint un sommet au milieu du côté opposé.
Les trois médianes d’un triangle sont concourantes en un point \(G\), le centre de gravité. De plus, \(G\) est situé aux deux tiers de chaque médiane en partant du sommet : si \(M\) est le milieu de \([BC]\), alors \(AG = \dfrac{2}{3}\,AM\).
Autre propriété : une médiane partage le triangle en deux triangles de même aire, car ils ont des bases égales et la même hauteur.
Dans un triangle \(ABC\), la médiane \([AM]\) mesure \(12\) cm. Alors \(AG = \dfrac{2}{3} \times 12 = 8\) cm et \(GM = 12 - 8 = 4\) cm.
Sur ma planète, on découpe un triangle dans du carton et on le fait tenir en équilibre sur la pointe d’un crayon posée en \(G\). C’est pour ça qu’on l’appelle « centre de gravité » !
6. Les bissectrices
La bissectrice d’un angle est la demi-droite, issue du sommet de l’angle, qui le partage en deux angles égaux.
Les trois bissectrices d’un triangle sont concourantes en un point \(I\). Ce point est à égale distance des trois côtés : c’est le centre du cercle inscrit, le cercle à l’intérieur du triangle qui touche chacun des côtés.
L’angle \(\widehat{BAC}\) mesure \(70^\circ\). Sa bissectrice le coupe en deux angles de \(70^\circ \div 2 = 35^\circ\).
7. Construire un triangle
Selon les données de l’énoncé, on dispose de trois méthodes.
- Trois côtés connus : trace le plus grand côté, puis deux arcs de cercle au compas (un depuis chaque extrémité) ; ils se coupent au troisième sommet.
- Deux côtés et l’angle entre eux : trace un côté, reporte l’angle au rapporteur, puis marque la longueur du deuxième côté.
- Un côté et les deux angles qui l’entourent : trace le côté, reporte chaque angle à chaque extrémité ; les deux demi-droites se coupent au troisième sommet.
Avant de construire avec les trois côtés, pense à vérifier l’inégalité triangulaire ! Pour \(AB = 6\) cm, \(AC = 5\) cm et \(BC = 4\) cm : \(5 + 4 = 9 > 6\), la construction est possible. Dans la méthode 3, les deux angles doivent avoir une somme inférieure à \(180^\circ\).
8. Récapitulatif des droites remarquables
Quatre familles de droites, quatre points de concours : voici le tableau à garder en tête.
| Droite | Définition | Point de concours | À quoi il sert |
|---|---|---|---|
| Médiatrice | Perpendiculaire à un côté en son milieu | \(O\) | Centre du cercle circonscrit |
| Hauteur | Passe par un sommet, perpendiculaire au côté opposé | \(H\) (orthocentre) | Calcul d’aires |
| Médiane | Joint un sommet au milieu du côté opposé | \(G\) (centre de gravité) | Équilibre, \(AG = \frac{2}{3}AM\) |
| Bissectrice | Partage un angle en deux angles égaux | \(I\) | Centre du cercle inscrit |
La médiane passe par le milieu mais n’est pas forcément perpendiculaire ; la hauteur est perpendiculaire mais ne passe pas forcément par le milieu ; la médiatrice est perpendiculaire et passe par le milieu, mais pas forcément par le sommet opposé. Dans un triangle isocèle en \(A\), les quatre droites issues de \(A\) (médiatrice de \([BC]\), hauteur, médiane et bissectrice) sont confondues : c’est l’axe de symétrie du triangle. Dans un triangle équilatéral, c’est vrai pour les trois sommets, et \(O\), \(H\), \(G\), \(I\) sont un seul et même point.
À retenir
- Inégalité triangulaire : chaque côté est plus petit que la somme des deux autres ; sinon le triangle n’existe pas.
- La somme des angles d’un triangle vaut 180° ; dans un triangle rectangle, les deux angles aigus font 90° ensemble.
- Les trois médiatrices se coupent en \(O\), centre du cercle circonscrit (\(OA = OB = OC\)) ; dans un triangle rectangle, c’est le milieu de l’hypoténuse.
- Les trois hauteurs se coupent en \(H\) (orthocentre), perpendiculaires aux côtés.
- Les trois médianes se coupent en \(G\) (centre de gravité), avec \(AG = \dfrac{2}{3}AM\).
- Les trois bissectrices se coupent en \(I\), centre du cercle inscrit.
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