Triangles et droites remarquables : exercices de maths 4ème à télécharger en PDF

1 Le triangle existe-t-il ? ★★★

Peut-on construire un triangle dont les côtés mesurent \(3\) cm, \(4\) cm et \(8\) cm ? Justifie.

2 Trois triplets à tester ★★★

Pour chaque liste, dis si elle peut être celle des longueurs des côtés d’un triangle :
a) \(5\) cm ; \(7\) cm ; \(11\) cm
b) \(4\) cm ; \(6\) cm ; \(10\) cm
c) \(2{,}5\) cm ; \(3\) cm ; \(6\) cm

3 Le troisième angle ★★★

Dans le triangle \(EFG\), \(\widehat{E} = 48^\circ\) et \(\widehat{F} = 67^\circ\). Calcule \(\widehat{G}\).

4 Triangle rectangle ★★★

Un triangle \(RST\) est rectangle en \(S\) et \(\widehat{R} = 34^\circ\). Quelle est la mesure de \(\widehat{T}\) ?

5 Deux triangles isocèles ★★★

a) Un triangle isocèle a un angle au sommet de \(40^\circ\). Calcule les angles à la base.

b) Un autre triangle isocèle a des angles à la base de \(55^\circ\). Calcule l’angle au sommet.

6 Qui est qui ? ★★★

Associe chaque droite à sa définition :
1. médiatrice, 2. hauteur, 3. médiane, 4. bissectrice.
a) partage un angle en deux angles égaux ; b) perpendiculaire à un côté en son milieu ; c) passe par un sommet et le milieu du côté opposé ; d) passe par un sommet et est perpendiculaire au côté opposé.

7 Vrai ou faux ? ★★★

Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse, et justifie.
a) Un triangle peut avoir deux angles obtus.
b) Chaque angle d’un triangle équilatéral mesure \(60^\circ\).
c) Une médiane est toujours perpendiculaire au côté qu’elle coupe.

8 Encadrer le troisième côté ★★★

Un triangle a deux côtés de \(5\) cm et \(9\) cm. Entre quelles valeurs se situe la longueur \(x\) du troisième côté ? Combien de valeurs entières sont possibles ?

9 Angles en fonction de x ★★★

Les angles d’un triangle mesurent \(x\), \(2x\) et \(3x + 30^\circ\). Trouve \(x\), puis les trois angles.

10 L’angle extérieur ★★★

Dans le triangle \(ABC\), \(\widehat{B} = 58^\circ\) et \(\widehat{C} = 47^\circ\). Le point \(D\) est placé sur la demi-droite \([BC)\), après \(C\). Calcule \(\widehat{A}\) et \(\widehat{ACD}\), puis compare \(\widehat{ACD}\) à \(\widehat{A} + \widehat{B}\).

11 Un point de la médiatrice ★★★

Le point \(M\) est sur la médiatrice du segment \([AB]\) avec \(AB = 9\) cm et \(MA = 7{,}5\) cm. Quelle est la longueur \(MB\) ? Calcule le périmètre du triangle \(MAB\).

12 Programme de construction ★★★

Écris un programme de construction du triangle \(ABC\) tel que \(AB = 7\) cm, \(AC = 5\) cm et \(BC = 4\) cm, après avoir vérifié qu’il existe.

13 Où est l’orthocentre ? ★★★

a) Le triangle \(ABC\) a un angle obtus en \(A\). L’orthocentre est-il à l’intérieur du triangle, sur un côté ou à l’extérieur ?
b) Le triangle \(DEF\) est rectangle en \(D\). Où est son orthocentre ?

14 Une bissectrice et un angle ★★★

Dans le triangle \(ABC\), \(\widehat{A} = 84^\circ\) et \(\widehat{B} = 61^\circ\). La bissectrice de \(\widehat{A}\) coupe \([BC]\) en \(D\). Calcule \(\widehat{BAD}\) puis \(\widehat{ADB}\).

15 Le centre de gravité ★★★

Dans le triangle \(ABC\), \(M\) est le milieu de \([BC]\), \(G\) est le centre de gravité et \(AM = 15\) cm. Calcule \(AG\) et \(GM\).

16 La médiane et le rectangle ★★★

Dans le triangle \(ABC\), \(M\) est le milieu de \([BC]\), \(BC = 14\) cm et \(AM = 7\) cm. Démontre que le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\). Indice : observe les triangles \(ABM\) et \(AMC\), qui sont isocèles.

17 Le puits des trois villages ★★★

Trois villages \(A\), \(B\), \(C\) sont tels que \(AB = 6\) km, \(AC = 8\) km et \(BC = 10\) km. On veut creuser un puits à égale distance des trois villages. Où faut-il le placer ? À quelle distance de chaque village sera-t-il ?

18 Hauteur et aire d’un triangle isocèle ★★★

Le triangle \(ABC\) est isocèle en \(A\) avec \(AB = AC = 17\) cm et \(BC = 16\) cm. Le pied de la hauteur issue de \(A\) est \(H\).

1. Justifie que \(H\) est le milieu de \([BC]\), puis calcule \(AH\).
2. Calcule l’aire du triangle.
3. Déduis-en la longueur de la hauteur \(BK\) issue de \(B\), arrondie au centième.

19 Les bissectrices de B et de C ★★★

Dans le triangle \(ABC\), \(\widehat{B} = 64^\circ\) et \(\widehat{C} = 36^\circ\). Les bissectrices des angles \(\widehat{B}\) et \(\widehat{C}\) se coupent en \(I\).

1. Calcule \(\widehat{A}\).
2. Calcule les angles \(\widehat{IBC}\) et \(\widehat{ICB}\), puis \(\widehat{BIC}\).
3. Vérifie que \(\widehat{BIC} = 90^\circ + \dfrac{\widehat{A}}{2}\).

20 Hauteur et angles ★★★

Le triangle \(ABC\) a \(\widehat{B} = 50^\circ\) et \(\widehat{C} = 70^\circ\). La hauteur issue de \(A\) coupe \([BC]\) en \(H\).

1. Calcule \(\widehat{BAC}\).
2. Calcule \(\widehat{BAH}\) et \(\widehat{HAC}\).
3. Vérifie que ces deux angles ont pour somme \(\widehat{BAC}\).