Triangles et droites remarquables : exercices corrigés de maths 4ème à télécharger en PDF

1 Le triangle existe-t-il ? ★★★

Le plus grand côté mesure \(8\) cm. La somme des deux autres vaut \(3 + 4 = 7\) cm.

Comme \(7 < 8\), l’inégalité triangulaire n’est pas vérifiée : ce triangle est impossible à construire.

2 Trois triplets à tester ★★★

1. \(5 + 7 = 12 > 11\) : oui, le triangle existe.
2. \(4 + 6 = 10\), égal au grand côté : les points sont alignés, ce n’est pas un vrai triangle. Non.
3. \(2{,}5 + 3 = 5{,}5 < 6\) : non.

3 Le troisième angle ★★★

La somme des angles d’un triangle vaut \(180^\circ\), donc \(\widehat{G} = 180^\circ - (48^\circ + 67^\circ) = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ\).

4 Triangle rectangle ★★★

Les angles \(\widehat{R}\) et \(\widehat{T}\) sont complémentaires : \(\widehat{R} + \widehat{T} + 90^\circ = 180^\circ\).

Donc \(\widehat{T} = 90^\circ - 34^\circ = 56^\circ\).

5 Deux triangles isocèles ★★★

1. Les angles à la base sont égaux et valent \((180^\circ - 40^\circ) \div 2 = 140^\circ \div 2 = 70^\circ\).
2. L’angle au sommet vaut \(180^\circ - 2 \times 55^\circ = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\).

6 Qui est qui ? ★★★

1 – b : la médiatrice est perpendiculaire au côté en son milieu. 2 – d : la hauteur passe par un sommet et est perpendiculaire au côté opposé. 3 – c : la médiane joint un sommet au milieu du côté opposé. 4 – a : la bissectrice coupe l’angle en deux angles égaux.

7 Vrai ou faux ? ★★★

1. Faux : deux angles obtus feraient plus de \(2 \times 90^\circ = 180^\circ\), alors que la somme totale vaut \(180^\circ\).
2. Vrai : trois angles égaux de somme \(180^\circ\) valent chacun \(180^\circ \div 3 = 60^\circ\).
3. Faux : une médiane passe par un milieu, mais elle n’est perpendiculaire que dans des cas particuliers (par exemple dans un triangle isocèle depuis le sommet principal).

8 Encadrer le troisième côté ★★★

Le grand côté \(9\) doit être inférieur à \(5 + x\), donc \(x > 4\). Et \(x\) doit être inférieur à \(5 + 9 = 14\).

On a donc \(4 < x < 14\). Les valeurs entières possibles sont \(5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13\) : il y en a \(9\).

9 Angles en fonction de x ★★★

La somme vaut \(180^\circ\) : \(x + 2x + 3x + 30 = 180\), donc \(6x = 150\) et \(x = 25\).

Les angles mesurent \(25^\circ\), \(2 \times 25 = 50^\circ\) et \(3 \times 25 + 30 = 105^\circ\). Vérification : \(25 + 50 + 105 = 180\).

10 L’angle extérieur ★★★

\(\widehat{A} = 180^\circ - (58^\circ + 47^\circ) = 75^\circ\).

Les angles \(\widehat{ACB}\) et \(\widehat{ACD}\) sont supplémentaires (\(B\), \(C\), \(D\) sont alignés) : \(\widehat{ACD} = 180^\circ - 47^\circ = 133^\circ\).

Or \(\widehat{A} + \widehat{B} = 75^\circ + 58^\circ = 133^\circ\) : l’angle extérieur est égal à la somme des deux angles non adjacents.

11 Un point de la médiatrice ★★★

Un point de la médiatrice est à égale distance des extrémités du segment : \(MB = MA = 7{,}5\) cm.

Périmètre : \(MA + MB + AB = 7{,}5 + 7{,}5 + 9 = 24\) cm.

12 Programme de construction ★★★

Le plus grand côté est \(AB = 7\) cm et \(5 + 4 = 9 > 7\) : le triangle existe.

1. Trace le segment \([AB]\) de \(7\) cm.
2. Trace un arc de cercle de centre \(A\) et de rayon \(5\) cm.
3. Trace un arc de cercle de centre \(B\) et de rayon \(4\) cm.
4. Les deux arcs se coupent en \(C\) : trace \([AC]\) et \([BC]\).

13 Où est l’orthocentre ? ★★★

1. Dans un triangle obtus, les hauteurs issues des deux sommets aigus tombent à l’extérieur du triangle : l’orthocentre est à l’extérieur.
2. Les côtés \([DE]\) et \([DF]\) sont perpendiculaires : \((DE)\) est la hauteur issue de \(E\) et \((DF)\) celle issue de \(F\). Elles se coupent en \(D\) : l’orthocentre est le sommet \(D\) de l’angle droit.

14 Une bissectrice et un angle ★★★

La bissectrice coupe l’angle en deux : \(\widehat{BAD} = 84^\circ \div 2 = 42^\circ\).

Dans le triangle \(ABD\) : \(\widehat{ADB} = 180^\circ - (42^\circ + 61^\circ) = 180^\circ - 103^\circ = 77^\circ\).

15 Le centre de gravité ★★★

\(G\) est aux deux tiers de la médiane en partant du sommet : \(AG = \dfrac{2}{3} \times 15 = 10\) cm.

Donc \(GM = AM - AG = 15 - 10 = 5\) cm.

16 La médiane et le rectangle ★★★

\(BM = MC = 14 \div 2 = 7\) cm et \(AM = 7\) cm, donc \(MA = MB = MC\).

Le triangle \(ABM\) est isocèle en \(M\) : \(\widehat{BAM} = \widehat{B}\). Le triangle \(AMC\) est isocèle en \(M\) : \(\widehat{MAC} = \widehat{C}\).

Ainsi \(\widehat{A} = \widehat{B} + \widehat{C}\). Dans le triangle \(ABC\), \(\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ\), donc \(2\widehat{A} = 180^\circ\) et \(\widehat{A} = 90^\circ\).

Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\) : on a retrouvé que le milieu de l’hypoténuse est le centre du cercle circonscrit.

17 Le puits des trois villages ★★★

Le puits \(M\) doit vérifier \(MA = MB = MC\) : c’est le centre du cercle circonscrit, à l’intersection des médiatrices.

Avant de tracer, regardons le triangle : \(BC^2 = 100\) et \(AB^2 + AC^2 = 36 + 64 = 100\). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, \(ABC\) est rectangle en \(A\).

Le centre de son cercle circonscrit est donc le milieu de l’hypoténuse \([BC]\). Le puits est au milieu de \([BC]\), à \(10 \div 2 = 5\) km de chacun des trois villages.

18 Hauteur et aire d’un triangle isocèle ★★★

1. Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal est aussi la médiatrice de la base : \(H\) est le milieu de \([BC]\) et \(BH = 8\) cm. Dans \(ABH\) rectangle en \(H\) : \(AH^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225\), donc \(AH = 15\) cm.
2. Aire \(= \dfrac{BC \times AH}{2} = \dfrac{16 \times 15}{2} = 120\) cm².
3. On peut aussi calculer l’aire avec la base \([AC]\) : \(\dfrac{AC \times BK}{2} = 120\), donc \(BK = \dfrac{240}{17} \approx 14{,}12\) cm.

19 Les bissectrices de B et de C ★★★

1. \(\widehat{A} = 180^\circ - (64^\circ + 36^\circ) = 80^\circ\).
2. \(\widehat{IBC} = 64^\circ \div 2 = 32^\circ\) et \(\widehat{ICB} = 36^\circ \div 2 = 18^\circ\). Dans le triangle \(IBC\) : \(\widehat{BIC} = 180^\circ - (32^\circ + 18^\circ) = 130^\circ\).
3. \(90^\circ + \dfrac{80^\circ}{2} = 90^\circ + 40^\circ = 130^\circ\) : l’égalité est vérifiée.

20 Hauteur et angles ★★★

1. \(\widehat{BAC} = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 60^\circ\).
2. Le triangle \(ABH\) est rectangle en \(H\) : \(\widehat{BAH} = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ\). Le triangle \(AHC\) est rectangle en \(H\) : \(\widehat{HAC} = 90^\circ - 70^\circ = 20^\circ\).
3. \(40^\circ + 20^\circ = 60^\circ = \widehat{BAC}\) : le pied \(H\) est bien entre \(B\) et \(C\) car les deux angles sont aigus.