Fonctions trigonométriques : exercices corrigés de maths Terminale à télécharger en PDF

1 Degrés et radians ★★★

On utilise \(x^\circ=\dfrac{x\pi}{180}\) rad. \(45^\circ=\dfrac{45\pi}{180}=\dfrac{\pi}{4}\) ; \(120^\circ=\dfrac{120\pi}{180}=\dfrac{2\pi}{3}\) ; \(270^\circ=\dfrac{270\pi}{180}=\dfrac{3\pi}{2}\).

2 Radians et degrés ★★★

On remplace \(\pi\) par \(180^\circ\). \(\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{180}{6}=30^\circ\) ; \(\dfrac{5\pi}{4}=\dfrac{5\times180}{4}=225^\circ\) ; \(\dfrac{7\pi}{6}=\dfrac{7\times180}{6}=210^\circ\).

3 Valeurs remarquables ★★★

Par lecture du tableau et du cercle : \(\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}\) ; \(\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) ; \(\cos\dfrac{\pi}{2}=0\) ; \(\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}\) ; \(\sin\pi=0\) (le point associé à \(\pi\) est \((-1\,;\,0)\)).

4 Une horloge ★★★

La pointe décrit un arc de cercle de rayon \(r=6\) cm. Sa longueur est \(r\theta=6\times\dfrac{2\pi}{3}=4\pi\) cm.

Or \(4\pi\approx12{,}57\) : la pointe parcourt environ \(12{,}57\) cm.

5 Ramener dans ]−π ; π] ★★★

On retire ou ajoute des multiples de \(2\pi\).

\(\dfrac{7\pi}{3}-2\pi=\dfrac{\pi}{3}\) ; \(\dfrac{11\pi}{4}-2\pi=\dfrac{3\pi}{4}\) ; \(-\dfrac{9\pi}{2}+4\pi=-\dfrac{\pi}{2}\). Chaque résultat est bien dans \(]-\pi\,;\,\pi]\).

6 Premières dérivées ★★★

\(f'(x)=3\cos x-2\sin x\) ; \(g'(x)=-5\sin x-1\) ; \(h'(x)=2\cos(2x)\) (dérivée de \(\sin(ax+b)\) avec \(a=2\)).

7 Pair, impair, ni l’un ni l’autre ★★★

Le domaine \(\mathbb{R}\) est symétrique par rapport à \(0\).

\(f(-x)=(-x)\sin(-x)=(-x)(-\sin x)=x\sin x=f(x)\) : \(f\) est paire.

\(g(-x)=(-x)\cos(-x)=-x\cos x=-g(x)\) : \(g\) est impaire.

\(h(\tfrac{\pi}{2})=2\) et \(h(-\tfrac{\pi}{2})=0\) : on n’a ni \(h(-x)=h(x)\) ni \(h(-x)=-h(x)\), donc \(h\) n’est ni paire ni impaire.

8 Valeurs exactes par symétrie ★★★

\(\cos\dfrac{2\pi}{3}=\cos\!\left(\pi-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\cos\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{1}{2}\) ; \(\sin\dfrac{2\pi}{3}=\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

\(\cos\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) ; \(\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=-\sin\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{1}{2}\).

\(\cos\dfrac{5\pi}{6}=-\cos\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ; \(\sin\dfrac{7\pi}{6}=\sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}+\pi\right)=-\sin\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{1}{2}\).

9 Deux équations simples ★★★

Comme \(\dfrac{1}{2}=\cos\dfrac{\pi}{3}\), \(\cos x=\cos\dfrac{\pi}{3}\iff x=\pm\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\). Dans \(]-\pi\,;\,\pi]\) : \(S=\left\{-\dfrac{\pi}{3}\,;\,\dfrac{\pi}{3}\right\}\).

Comme \(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\), les solutions sont \(x=-\dfrac{\pi}{4}+2k\pi\) ou \(x=\dfrac{5\pi}{4}+2k\pi\). Dans \([0\,;\,2\pi[\) : \(S=\left\{\dfrac{5\pi}{4}\,;\,\dfrac{7\pi}{4}\right\}\).

10 Vrai ou faux ? ★★★

1. Faux : \(\cos(x+\pi)=-\cos x\). Contre-exemple : pour \(x=0\), \(\cos\pi=-1\neq1=\cos0\).
2. Vrai : les points associés à \(x\) et \(\pi-x\) sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées, ils ont la même ordonnée.
3. Faux : pour \(x=\dfrac{\pi}{4}\), \(\sin\dfrac{\pi}{2}=1\) alors que \(2\sin\dfrac{\pi}{4}=\sqrt{2}\neq1\).

11 Retrouver le cosinus ★★★

De \(\cos^2x+\sin^2x=1\), on tire \(\cos^2x=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}\), donc \(\cos x=\pm\dfrac{4}{5}\).

Sur \(\left]\dfrac{\pi}{2}\,;\,\pi\right[\), le cosinus est négatif : \(\cos x=-\dfrac{4}{5}\).

Alors \(\cos(\pi-x)=-\cos x=\dfrac{4}{5}\) et \(\sin(\pi-x)=\sin x=\dfrac{3}{5}\).

12 Dériver des produits et quotients ★★★

\(f'(x)=\sin x+x\cos x\) (produit).

\(g=\cos^2\), de la forme \(u^2\) avec \(u=\cos\) : \(g'(x)=2\cos x\times(-\sin x)=-2\sin x\cos x\).

\(h\) est un quotient : \(h'(x)=\dfrac{\cos x(2+\cos x)-\sin x\times(-\sin x)}{(2+\cos x)^2}=\dfrac{2\cos x+\cos^2x+\sin^2x}{(2+\cos x)^2}=\dfrac{2\cos x+1}{(2+\cos x)^2}\).

13 Trois limites en 0 ★★★

\(\dfrac{\sin(5x)}{x}=5\times\dfrac{\sin(5x)}{5x}\to5\times1=5\).

\(\dfrac{\sin x}{2x}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{\sin x}{x}\to\dfrac{1}{2}\).

Pour \(x\) proche de \(0\) non nul, \(\dfrac{\sin(3x)}{\sin(2x)}=\dfrac{\sin(3x)}{3x}\times\dfrac{2x}{\sin(2x)}\times\dfrac{3}{2}\to1\times1\times\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}\).

14 Tangentes à la sinusoïde ★★★

La tangente en \(a\) a pour équation \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\), avec \(f'=\cos\).

En \(0\) : \(f(0)=0\), \(f'(0)=1\), donc \(y=x\).

En \(\dfrac{\pi}{3}\) : \(f\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) et \(f'\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}\), donc \(y=\dfrac{1}{2}\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)+\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{x}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\pi}{6}\).

15 Étude d’une fonction avec un terme affine ★★★

1. \(f'(x)=2\cos x-1\). Sur \([0\,;\,\pi]\), \(f'(x)=0\iff\cos x=\dfrac{1}{2}\iff x=\dfrac{\pi}{3}\). Comme le cosinus décroît de \(1\) à \(-1\) sur \([0\,;\,\pi]\), \(f'>0\) sur \(\left[0\,;\,\dfrac{\pi}{3}\right[\) et \(f'<0\) sur \(\left]\dfrac{\pi}{3}\,;\,\pi\right]\).
2. On calcule \(f(0)=0\), \(f\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}-\dfrac{\pi}{3}\approx0{,}685\) et \(f(\pi)=-\pi\).

3. Sur \(\left]0\,;\,\dfrac{\pi}{3}\right]\), \(f\) est strictement croissante avec \(f(0)=0\), donc \(f>0\) : pas de solution. Sur \(\left[\dfrac{\pi}{3}\,;\,\pi\right]\), \(f\) est continue, strictement décroissante, et passe de \(0{,}685\) à \(-\pi\) : d’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution \(\alpha\).

À la calculatrice, \(f(1{,}89)\approx0{,}009>0\) et \(f(1{,}90)\approx-0{,}007<0\) : \(1{,}89<\alpha<1{,}90\).

16 Une équation du second degré en cos x ★★★

On pose \(X=\cos x\) : \(2X^2-3X+1=0\), soit \((2X-1)(X-1)=0\), donc \(X=\dfrac{1}{2}\) ou \(X=1\).

\(\cos x=1\) donne \(x=0\) dans \([0\,;\,2\pi[\).

\(\cos x=\dfrac{1}{2}=\cos\dfrac{\pi}{3}\) donne \(x=\dfrac{\pi}{3}\) ou \(x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi=\dfrac{5\pi}{3}\).

Ainsi \(S=\left\{0\,;\,\dfrac{\pi}{3}\,;\,\dfrac{5\pi}{3}\right\}\).

17 Deux inéquations sur le cercle ★★★

(a) Les points du cercle d’ordonnée \(\dfrac{1}{2}\) correspondent à \(\dfrac{\pi}{6}\) et \(\pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}\). Les points d’ordonnée au moins \(\dfrac{1}{2}\) sont sur l’arc situé au-dessus de la droite \(y=\dfrac{1}{2}\) : \(S=\left[\dfrac{\pi}{6}\,;\,\dfrac{5\pi}{6}\right]\).

(b) \(\cos x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) pour \(x=\dfrac{3\pi}{4}\) et \(x=\dfrac{5\pi}{4}\). Les points d’abscisse strictement inférieure à \(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) sont sur l’arc de gauche : \(S=\left]\dfrac{3\pi}{4}\,;\,\dfrac{5\pi}{4}\right[\).

18 sin(2x) = sin(x) ★★★

\(\sin(2x)=\sin x\iff 2x=x+2k\pi\) ou \(2x=\pi-x+2k\pi\).

Première famille : \(x=2k\pi\), soit \(x=0\) dans \([0\,;\,2\pi[\).

Seconde famille : \(3x=\pi+2k\pi\), soit \(x=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{2k\pi}{3}\), qui donne \(\dfrac{\pi}{3}\), \(\pi\) et \(\dfrac{5\pi}{3}\) pour \(k=0,1,2\).

\(S=\left\{0\,;\,\dfrac{\pi}{3}\,;\,\pi\,;\,\dfrac{5\pi}{3}\right\}\).

19 Limites par encadrement et par transformation ★★★

(a) Pour \(x>0\), \(-1\leqslant\sin x\leqslant1\) donne \(-\dfrac{1}{x}\leqslant\dfrac{\sin x}{x}\leqslant\dfrac{1}{x}\). Les deux bornes tendent vers \(0\) : d’après le théorème des gendarmes, la limite est \(0\).

(b) Pour \(x\) proche de \(0\) non nul, \(\dfrac{1-\cos x}{x^2}=\dfrac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{x^2(1+\cos x)}=\dfrac{\sin^2x}{x^2(1+\cos x)}=\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^2\times\dfrac{1}{1+\cos x}\).

Quand \(x\to0\), \(\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^2\to1\) et \(\dfrac{1}{1+\cos x}\to\dfrac{1}{2}\). La limite vaut \(\dfrac{1}{2}\).

20 La grande roue ★★★

1. \(h(0)=12-10\cos0=2\) m. Le maximum est atteint quand \(\cos\dfrac{\pi t}{3}=-1\), c’est-à-dire \(\dfrac{\pi t}{3}=\pi\), soit \(t=3\) min : \(h(3)=12+10=22\) m.
2. \(h(t)\geqslant17\iff-10\cos\dfrac{\pi t}{3}\geqslant5\iff\cos\dfrac{\pi t}{3}\leqslant-\dfrac{1}{2}\). Avec \(\dfrac{\pi t}{3}\in[0\,;\,2\pi]\), cela donne \(\dfrac{2\pi}{3}\leqslant\dfrac{\pi t}{3}\leqslant\dfrac{4\pi}{3}\), soit \(2\leqslant t\leqslant4\). La nacelle reste au-dessus de \(17\) m pendant \(2\) minutes.
3. \(h'(t)=-10\times\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\sin\dfrac{\pi t}{3}=\dfrac{10\pi}{3}\sin\dfrac{\pi t}{3}\). Donc \(h'(1)=\dfrac{10\pi}{3}\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{5\pi\sqrt{3}}{3}\approx9{,}1\) m/min.