Fonctions trigonométriques : exercices de maths Terminale à télécharger en PDF

1 Degrés et radians ★★★

Convertis en radians : \(45^\circ\) ; \(120^\circ\) ; \(270^\circ\).

2 Radians et degrés ★★★

Convertis en degrés : \(\dfrac{\pi}{6}\) ; \(\dfrac{5\pi}{4}\) ; \(\dfrac{7\pi}{6}\).

3 Valeurs remarquables ★★★

Donne la valeur exacte de \(\cos\dfrac{\pi}{3}\) ; \(\sin\dfrac{\pi}{4}\) ; \(\cos\dfrac{\pi}{2}\) ; \(\sin\dfrac{\pi}{6}\) ; \(\sin\pi\).

4 Une horloge ★★★

L’aiguille des minutes d’une horloge murale mesure \(6\) cm. En \(20\) minutes, elle balaie un angle de \(\dfrac{2\pi}{3}\) radians. Quelle distance parcourt sa pointe ? Donne la valeur exacte puis l’arrondi au centième de centimètre.

5 Ramener dans ]−π ; π] ★★★

Trouve, pour chaque réel, son représentant dans l’intervalle \(]-\pi\,;\,\pi]\) : \(\dfrac{7\pi}{3}\) ; \(\dfrac{11\pi}{4}\) ; \(-\dfrac{9\pi}{2}\).

6 Premières dérivées ★★★

Dérive : \(f(x)=3\sin x+2\cos x\) ; \(g(x)=5\cos x-x\) ; \(h(x)=\sin(2x)\).

7 Pair, impair, ni l’un ni l’autre ★★★

Étudie la parité des fonctions définies sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x\sin x\), \(g(x)=x\cos x\) et \(h(x)=\sin x+1\).

8 Valeurs exactes par symétrie ★★★

Donne la valeur exacte de \(\cos\dfrac{2\pi}{3}\) ; \(\sin\dfrac{2\pi}{3}\) ; \(\cos\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\) ; \(\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\) ; \(\cos\dfrac{5\pi}{6}\) ; \(\sin\dfrac{7\pi}{6}\).

9 Deux équations simples ★★★

Résous \(\cos x=\dfrac{1}{2}\) dans \(]-\pi\,;\,\pi]\), puis \(\sin x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) dans \([0\,;\,2\pi[\).

10 Vrai ou faux ? ★★★

Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse, et justifie.

1. Pour tout réel \(x\), \(\cos(x+\pi)=\cos x\).
2. Pour tout réel \(x\), \(\sin(\pi-x)=\sin x\).
3. Pour tout réel \(x\), \(\sin(2x)=2\sin x\).

11 Retrouver le cosinus ★★★

Un réel \(x\) appartient à \(\left]\dfrac{\pi}{2}\,;\,\pi\right[\) et vérifie \(\sin x=\dfrac{3}{5}\). Calcule \(\cos x\), puis \(\cos(\pi-x)\) et \(\sin(\pi-x)\).

12 Dériver des produits et quotients ★★★

Dérive \(f(x)=x\sin x\) ; \(g(x)=\cos^2x\) ; \(h(x)=\dfrac{\sin x}{2+\cos x}\).

13 Trois limites en 0 ★★★

Calcule \(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin(5x)}{x}\) ; \(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{2x}\) ; \(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin(3x)}{\sin(2x)}\).

14 Tangentes à la sinusoïde ★★★

Soit \(f(x)=\sin x\). Donne une équation de la tangente à la courbe de \(f\) au point d’abscisse \(0\), puis au point d’abscisse \(\dfrac{\pi}{3}\).

15 Étude d’une fonction avec un terme affine ★★★

Soit \(f(x)=2\sin x-x\) sur \([0\,;\,\pi]\).

1. Calcule \(f'(x)\) et étudie son signe.
2. Dresse le tableau de variations de \(f\).
3. Montre que l’équation \(f(x)=0\) admet exactement une solution \(\alpha\) dans \(]0\,;\,\pi]\) et donne un encadrement de \(\alpha\) à \(10^{-2}\) près.

16 Une équation du second degré en cos x ★★★

Résous dans \([0\,;\,2\pi[\) l’équation \(2\cos^2x-3\cos x+1=0\).

17 Deux inéquations sur le cercle ★★★

Résous dans \([0\,;\,2\pi]\) : (a) \(\sin x\geqslant\dfrac{1}{2}\) ; (b) \(\cos x<-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

18 sin(2x) = sin(x) ★★★

Résous dans \([0\,;\,2\pi[\) l’équation \(\sin(2x)=\sin x\).

19 Limites par encadrement et par transformation ★★★

Calcule (a) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\sin x}{x}\) ; (b) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}\). Indice pour (b) : multiplie en haut et en bas par \(1+\cos x\).

20 La grande roue ★★★

La hauteur (en mètres) d’une nacelle de grande roue, \(t\) minutes après son départ du point bas, est \(h(t)=12-10\cos\!\left(\dfrac{\pi t}{3}\right)\), pour \(t\in[0\,;\,6]\).

1. Quelle est la hauteur au départ ? la hauteur maximale, et à quel instant est-elle atteinte ?
2. Pendant combien de minutes la nacelle est-elle à plus de \(17\) m de hauteur ?
3. Calcule la vitesse verticale \(h'(1)\) et donne-en une valeur approchée au dixième de m/min.