Triangles et angles : exercices corrigés de maths 5ème à télécharger en PDF

1 Le troisième angle ★★★

La somme des angles d’un triangle est \(180^\circ\), donc \(\widehat{C} = 180^\circ - 38^\circ - 91^\circ = 51^\circ\).

2 Vrai ou faux ? ★★★

1. Faux : \(90^\circ + 90^\circ = 180^\circ\), il ne resterait rien pour le troisième angle.
2. Vrai : \(70^\circ + 50^\circ + 60^\circ = 180^\circ\).
3. Faux : deux angles obtus mesurent chacun plus de \(90^\circ\), leur somme dépasse \(180^\circ\).

3 Sommet principal ★★★

Les angles à la base sont égaux et \(\widehat{U} + \widehat{N} = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ\).

Donc \(\widehat{U} = \widehat{N} = 130^\circ \div 2 = 65^\circ\).

4 Un fanion équilatéral ★★★

Les trois angles sont égaux : \(180^\circ \div 3 = 60^\circ\).

Le périmètre est \(3 \times 7{,}5 = 22{,}5\) cm.

5 Triangle rectangle ★★★

Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires : \(\widehat{T} = 90^\circ - 28^\circ = 62^\circ\).

6 Le triangle existe-t-il ? ★★★

1. \(5 < 3 + 4 = 7\) : oui.
2. \(6 > 2 + 3 = 5\) : non.
3. \(10 = 5 + 5\) : le triangle est aplati (points alignés), ce n’est pas un vrai triangle.
4. \(10 < 4 + 7 = 11\) : oui.

7 Alternes-internes ★★★

Les angles \(72^\circ\) et \(x\) sont alternes-internes et les droites \((d)\) et \((d’)\) sont parallèles, donc ils sont égaux : \(x = 72^\circ\).

8 Les angles à la base ★★★

Les angles à la base sont en \(A\) et en \(C\) : \(\widehat{A} + \widehat{C} = 54^\circ + 54^\circ = 108^\circ\).

\(\widehat{B} = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ\).

9 Trois angles en proportion ★★★

\(x + 2x + 3x = 6x = 180\), donc \(x = 30\).

Les angles mesurent \(30^\circ\), \(60^\circ\) et \(90^\circ\). Le triangle a un angle droit : il est rectangle.

10 Un angle triple ★★★

\(\widehat{A} + \widehat{B} = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ\). Or \(\widehat{A} = 3\widehat{B}\), donc \(4\widehat{B} = 140^\circ\) et \(\widehat{B} = 35^\circ\).

Alors \(\widehat{A} = 3 \times 35^\circ = 105^\circ\). Vérification : \(105 + 35 + 40 = 180\).

11 Parallèles ou pas ? ★★★

1. Deux angles correspondants égaux : d’après la réciproque, les droites sont parallèles.
2. Deux angles alternes-internes de mesures différentes : si les droites étaient parallèles, ils seraient égaux. Elles ne sont donc pas parallèles.

12 Tous les angles de la figure ★★★

\(x\) est alterne-interne avec \(118^\circ\) : \(x = 118^\circ\).

\(y\) est correspondant à \(118^\circ\) : \(y = 118^\circ\).

\(z\) et \(x\) sont adjacents et forment un angle plat : \(z = 180^\circ - 118^\circ = 62^\circ\).

13 Sur la médiatrice ★★★

1. \(M\) est sur la médiatrice de \([AB]\), donc \(MB = MA = 5\) cm.
2. Périmètre : \(5 + 5 + 8 = 18\) cm.
3. \(PA = 3\) et \(PB = 5\) ne sont pas égaux : \(P\) n’est pas sur la médiatrice.

14 Construire un triangle ★★★

Le plus grand côté est \(RS = 7\) et \(5 + 4 = 9\). Comme \(7 < 9\), le triangle existe.

On trace \([RS]\) de \(7\) cm. On trace un arc de centre \(R\) et de rayon \(5\) cm, puis un arc de centre \(S\) et de rayon \(4\) cm. Ils se coupent en \(T\) ; on relie \(T\) à \(R\) et à \(S\).

15 Démontrer les 180° ★★★

1. Les droites \((d)\) et \((BC)\) sont parallèles, la sécante est \((AB)\) et les angles \(\widehat{DAB}\) et \(\widehat{ABC}\) sont alternes-internes : ils sont égaux.
2. De même, avec la sécante \((AC)\), les angles \(\widehat{CAE}\) et \(\widehat{ACB}\) sont alternes-internes, donc égaux.
3. Les angles 1, 2 et 3 forment ensemble l’angle plat \(\widehat{DAE}\) : \(1 + 2 + 3 = 180^\circ\). Donc \(\widehat{ABC} + \widehat{BAC} + \widehat{ACB} = 180^\circ\).

16 Isocèle de périmètre 30 ★★★

Cas 1 : \(12\) cm est la longueur d’un des deux côtés égaux. La base mesure \(30 - 12 - 12 = 6\) cm. Les côtés sont \(12\), \(12\), \(6\) ; comme \(12 < 12 + 6\), le triangle existe.

Cas 2 : \(12\) cm est la base. Les deux côtés égaux mesurent \((30 - 12) \div 2 = 9\) cm. Comme \(12 < 9 + 9 = 18\), le triangle existe.

Il y a deux solutions : \(12\), \(12\), \(6\) ou \(9\), \(9\), \(12\).

17 Le troisième côté ★★★

Notons \(x\) le troisième côté. Le plus grand côté doit être strictement plus petit que la somme des deux autres.

D’une part \(x < 4 + 9 = 13\). D’autre part \(9 < x + 4\), donc \(x > 5\).

Ainsi \(5 < x < 13\) : \(x\) peut valoir \(6, 7, 8, 9, 10, 11\) ou \(12\). Il y a 7 valeurs possibles.

18 Autour du centre ★★★

1. \(O\) est le centre du cercle : \(OB = OC = 3{,}5\) cm.
2. \(OAB\) est isocèle en \(O\) : \(\widehat{OAB} = (180^\circ - 112^\circ) \div 2 = 34^\circ\). \(OBC\) est isocèle en \(O\) : \(\widehat{OCB} = \widehat{OBC} = 41^\circ\), donc \(\widehat{BOC} = 180^\circ - 82^\circ = 98^\circ\).
3. \(OAC\) est isocèle en \(O\) : \(\widehat{OAC} = (180^\circ - 150^\circ) \div 2 = 15^\circ\), et \(\widehat{OCA} = 15^\circ\). Alors \(\widehat{A} = 34^\circ + 15^\circ = 49^\circ\), \(\widehat{B} = 34^\circ + 41^\circ = 75^\circ\), \(\widehat{C} = 41^\circ + 15^\circ = 56^\circ\). Vérification : \(49 + 75 + 56 = 180\).

19 Le puits des trois arbres ★★★

1. \(O\) doit vérifier \(OA = OB\) et \(OB = OC\) : il est sur la médiatrice de \([AB]\) et sur celle de \([BC]\). Il est donc à leur intersection (c’est le centre du cercle circonscrit à \(ABC\)).
2. Deux médiatrices suffisent : la troisième passe forcément par le même point.
3. \(OC = OA = 25\) m.
4. Les médiatrices seraient toutes perpendiculaires à la même droite : elles seraient parallèles et ne se couperaient pas. Aucun point ne serait équidistant des trois arbres.

20 Une parallèle dans le triangle ★★★

1. \(\widehat{A} = 180^\circ - 62^\circ - 48^\circ = 70^\circ\).
2. \((DE) // (BC)\) : \(\widehat{ADE}\) et \(\widehat{ABC}\) sont correspondants, donc \(\widehat{ADE} = 62^\circ\). De même \(\widehat{AED}\) et \(\widehat{ACB}\) sont correspondants : \(\widehat{AED} = 48^\circ\). Vérification dans \(ADE\) : \(70 + 62 + 48 = 180\).
3. \(A\), \(D\), \(B\) sont alignés, donc \(\widehat{BDE} = 180^\circ - 62^\circ = 118^\circ\).