Corrigés rédigés des exercices du chapitre. Vérifie chaque étape, puis corrige-toi.
1 Vrai ou faux ? ★★★
a) Vrai : \((d)\) est la médiatrice de \([AA']\), donc perpendiculaire à \((AA')\).
b) Faux : un point de l’axe est son propre symétrique.
c) Faux : la symétrie conserve les longueurs, les deux figures ont la même taille.
d) Vrai : c’est la définition du symétrique.
2 Symétriques sur quadrillage ★★★
a) On compte les carreaux jusqu’à l’axe, puis on les reporte de l’autre côté. \(A\) est à \(3\) carreaux de \((d)\) : \(A'(7\,;\,2)\). \(B\) est à \(1\) carreau : \(B'(5\,;\,5)\). \(C\) est sur \((d)\) : \(C'(4\,;\,1)\).
b) \(C\) est sur l’axe, donc \(C' = C\).
3 Des longueurs qui ne bougent pas ★★★
La symétrie conserve les longueurs et les angles.
a) \(A'B' = 4{,}2\) cm, \(B'C' = 5\) cm, \(A'C' = 6{,}3\) cm.
b) \(\widehat{A'B'C'} = 52^\circ\).
c) Périmètre de \(ABC\) : \(4{,}2 + 5 + 6{,}3 = 15{,}5\) cm. Les deux triangles ont les mêmes côtés, donc le périmètre de \(A'B'C'\) est aussi \(15{,}5\) cm.
4 Compter les axes ★★★
a) Un losange a 2 axes (ses deux diagonales).
b) Un parallélogramme quelconque a 0 axe.
c) Un triangle isocèle non équilatéral a 1 axe (la médiatrice de la base).
d) Un trapèze isocèle a 1 axe (la médiatrice des bases).
e) Un disque a une infinité d’axes : tous ses diamètres.
Sur le dessin : la figure 1 est le losange, la figure 2 le parallélogramme, la figure 3 le trapèze isocèle (ses côtés non parallèles sont égaux et il est symétrique de gauche à droite).
5 Lettres symétriques ★★★
a) Les lettres A, H, T et E ont un axe de symétrie. Les lettres F, N et Z n’en ont pas.
b) A : axe vertical. T : axe vertical. E : axe horizontal. H : les deux, vertical et horizontal.
6 Distances à l’axe ★★★
a) Un point et son symétrique sont à la même distance de l’axe : \(A'\) est à \(3\) cm de \((d)\) et \(B'\) à \(4{,}5\) cm.
b) \(AA' = 2 \times 3 = 6\) cm ; \(BB' = 2 \times 4{,}5 = 9\) cm ; \(C\) est sur l’axe donc \(C' = C\) et \(CC' = 0\) cm.
7 Deux fois de suite ★★★
a) \(B\) est à \(2\) carreaux sous \((d)\) : son symétrique est à \(2\) carreaux au-dessus, donc \(B'(2\,;\,5)\).
b) Le symétrique de \(B'\) est à \(2\) carreaux sous \((d)\) : on retrouve \(B(2\,;\,1)\). Le symétrique du symétrique d’un point est le point de départ.
8 Un triangle sur quadrillage ★★★
a) Un point d’ordonnée \(y\) a pour symétrique le point de même abscisse et d’ordonnée \(6 - y\) (car l’axe est à la hauteur \(3\)). \(P'(1\,;\,5)\) ; \(Q'(4\,;\,4)\) ; \(R'(2\,;\,1)\).
b) \(Q\) est à \(1\) carreau de l’axe, c’est le plus proche. Son symétrique \(Q'\) est aussi à \(1\) carreau de l’axe, de l’autre côté.
9 L’arbre et son reflet ★★★
a) Le pied de l’arbre et son symétrique sont à la même distance de l’axe : le reflet est à \(12\) m de la rive, de l’autre côté.
b) La symétrie conserve les longueurs : le reflet mesure \(9{,}5\) m.
c) \(12 + 12 = 24\) m séparent les deux pieds.
10 Polygones réguliers ★★★
a) Triangle équilatéral : \(3\) ; carré : \(4\) ; pentagone régulier : \(5\) ; hexagone régulier : \(6\) ; octogone régulier : \(8\).
b) Un polygone régulier à \(n\) côtés a \(n\) axes de symétrie. Pour \(12\) côtés : \(12\) axes.
c) Un rectangle non carré n’est pas un polygone régulier : ses côtés n’ont pas tous la même longueur.
11 Des angles qui se retrouvent ★★★
a) Les longueurs sont conservées : \(AB = 6\) cm, \(BC = 7{,}2\) cm, \(AC = 4{,}8\) cm.
b) Les angles sont conservés : \(\widehat{B'A'C'} = 47^\circ\) et \(\widehat{A'B'C'} = 68^\circ\).
c) Périmètre : \(6 + 7{,}2 + 4{,}8 = 18\) cm.
12 Autour de la médiatrice ★★★
a) \(AI = 9 \div 2 = 4{,}5\) cm.
b) \(M\) est sur la médiatrice de \([AB]\), donc \(MA = MB\) : \(MB = 7{,}2\) cm.
c) La médiatrice est perpendiculaire au segment : l’angle mesure \(90^\circ\).
d) \(7{,}2 + 7{,}2 + 9 = 23{,}4\) cm.
13 Vrai ou faux, justifie ★★★
a) Vrai : ses deux diagonales.
b) Faux : un parallélogramme quelconque n’a aucun axe.
c) Vrai : la symétrie conserve les aires.
d) Faux : tout diamètre est un axe, il y en a une infinité.
e) Faux : les angles sont conservés, un angle aigu a un symétrique aigu.
14 Axe en diagonale ★★★
On échange les deux coordonnées : \(A'(4\,;\,1)\), \(B'(1\,;\,2)\), \(C'(3\,;\,5)\).
Vérification sur le dessin : \(A\) et \(A'\) sont à égale distance de la diagonale et \((AA')\) est perpendiculaire à \((d)\).
15 Des mots symétriques ★★★
OTTO : lettres O et T symétriques verticalement, et le mot se lit de la même façon à l’envers : 1 axe vertical (le T n’a pas d’axe horizontal).
COCO : C et O ont un axe horizontal, mais le mot n’est pas un palindrome : 1 axe, horizontal.
XOX : palindrome, X et O ont les deux axes : 2 axes.
MATH : le mot n’est pas un palindrome et M n’a pas d’axe horizontal : 0 axe.
16 Construire à l’équerre ★★★
a) 1. On place l’équerre contre \((d)\) et on trace la perpendiculaire à \((d)\) passant par \(E\) : elle coupe \((d)\) en \(H\). 2. On mesure \(EH\). 3. On reporte \(EH\) de l’autre côté de \((d)\) sur la même perpendiculaire : on obtient \(E'\) avec \(HE' = EH\). On répète pour \(F\) et \(G\), puis on relie \(E'\), \(F'\), \(G'\).
b) On plie la feuille le long de \((d)\) : chaque sommet doit tomber sur son symétrique, et les deux triangles doivent se superposer.
17 Un rectangle coupé en deux ★★★
a) \((d)\) est la médiatrice de \([AB]\) : le symétrique de \(A\) est \(B\). De même le symétrique de \(D\) est \(C\), donc le symétrique de \([AD]\) est \([BC]\).
b) \(M\) est le milieu de \([AB]\) : \(AM = 8 \div 2 = 4\) cm.
c) \(ABCD\) : périmètre \(2 \times (8 + 5) = 26\) cm ; aire \(8 \times 5 = 40\) cm². \(AMND\) : \(4\) cm sur \(5\) cm, périmètre \(2 \times (4 + 5) = 18\) cm ; aire \(4 \times 5 = 20\) cm², soit la moitié de celle de \(ABCD\).
18 Triangle isocèle et axe ★★★
a) \((d)\) est la médiatrice de \([BC]\), donc le symétrique de \(B\) est \(C\). Comme \(A\) est sur l’axe, \(A' = A\), donc \([AB]\) a pour symétrique \([AC]\) et \(AB = AC\).
b) Les angles sont conservés : \(\widehat{ACB} = \widehat{ABC} = 64^\circ\).
c) \(AB + AC = 32 - 10 = 22\) cm et \(AB = AC\), donc \(AB = 22 \div 2 = 11\) cm.
19 Médiatrice au compas ★★★
a) On prend un écartement de compas supérieur à \(3{,}5\) cm (par exemple \(5\) cm). Pointe en \(A\) : on trace un arc de part et d’autre de \([AB]\) ; sans changer l’écartement, on pointe en \(B\) et on trace deux arcs qui coupent les premiers en \(P\) et \(Q\). La droite \((PQ)\) est la médiatrice de \([AB]\).
b) Pour tout point \(M\) de la médiatrice, la mesure donne \(MA = MB\) (au millimètre près).
c) Le symétrique de \(A\) est \(B\), puisque la médiatrice est l’axe de symétrie du segment \([AB]\).
20 Quatre points symétriques ★★★
a) Par rapport à l’axe vertical, \(P'(-3\,;\,2)\). Par rapport à l’axe horizontal : \((3\,;\,-2)\) et \((-3\,;\,-2)\).
b) Le quadrilatère est un rectangle de largeur \(6\) cm et de hauteur \(4\) cm (ses côtés sont parallèles aux axes).
c) Périmètre : \(2 \times (6 + 4) = 20\) cm. Aire : \(6 \times 4 = 24\) cm².
21 Symétrique d’une droite ★★★
a) Le symétrique est \(\Delta\) elle-même.
b) Le symétrique est une droite parallèle à \((d)\), à \(2{,}5\) cm de l’autre côté ; les deux droites sont distantes de \(2{,}5 + 2{,}5 = 5\) cm.
c) \(I\) est sur l’axe, donc \(I\) est son propre symétrique : les deux droites passent toutes les deux par \(I\).
d) Tous les points de \((d)\) sont fixes : le symétrique est \((d)\).
22 Le chemin le plus court ★★★
a) \((d)\) est la médiatrice de \([AA']\) ; tout point \(M\) de la médiatrice vérifie \(MA = MA'\).
b) Le plus court chemin de \(A'\) à \(B\) est la ligne droite : \(M\) est le point où le segment \([A'B]\) coupe la rive. Alors \(AM + MB = A'M + MB = A'B\).
c) Par \(M\) : \(11{,}6\) cm. Par \(N\) : \(6{,}5 + 6 = 12{,}5\) cm. Comme \(12{,}5 > 11{,}6\), le trajet par \(N\) est plus long.
23 Programme de construction ★★★
a) \(C\) est sur la médiatrice de \([AB]\) donc \(CB = CA = 4\) cm. \(D\) est le symétrique de \(C\) par rapport à \((AB)\), qui contient \(A\) et \(B\) : \(DA = CA = 4\) cm et \(DB = CB = 4\) cm (la symétrie conserve les longueurs).
b) Les quatre côtés \([AC]\), \([CB]\), \([BD]\), \([DA]\) mesurent \(4\) cm : c’est un losange. Périmètre : \(4 \times 4 = 16\) cm.
c) Ses axes sont \((AB)\) et \((CD)\), donc \(2\) axes.
