23 exercices classés par difficulté (★ facile, ★★ moyen, ★★★ difficile). Cherche d’abord sans regarder le corrigé !
1 Vrai ou faux ? ★★★
Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse.
- Si \(A'\) est le symétrique de \(A\) par rapport à \((d)\), alors \((AA')\) est perpendiculaire à \((d)\).
- Un point de l’axe a pour symétrique un autre point de l’axe.
- Deux figures symétriques n’ont jamais la même taille.
- L’axe \((d)\) coupe le segment \([AA']\) en son milieu.
2 Symétriques sur quadrillage ★★★
Dans le quadrillage, la droite \((d)\) est verticale et passe par le repère \(4\) de l’axe horizontal.
Les points sont \(A(1\,;\,2)\), \(B(3\,;\,5)\) et \(C(4\,;\,1)\).
- Donne les coordonnées des symétriques \(A'\), \(B'\) et \(C'\) de \(A\), \(B\) et \(C\) par rapport à \((d)\).
- Que remarques-tu pour le point \(C\) ?
3 Des longueurs qui ne bougent pas ★★★
Le triangle \(A'B'C'\) est le symétrique du triangle \(ABC\) par rapport à une droite. On sait que \(AB = 4{,}2\) cm, \(BC = 5\) cm, \(AC = 6{,}3\) cm et \(\widehat{ABC} = 52^\circ\).
- Donne \(A'B'\), \(B'C'\) et \(A'C'\).
- Donne la mesure de l’angle \(\widehat{A'B'C'}\).
- Calcule le périmètre de \(ABC\), puis celui de \(A'B'C'\).
4 Compter les axes ★★★
Donne le nombre d’axes de symétrie de chaque figure.
- un losange qui n’est pas un carré ;
- un parallélogramme quelconque (sans angle droit, côtés consécutifs inégaux) ;
- un triangle isocèle qui n’est pas équilatéral ;
- un trapèze isocèle ;
- un disque.
Les figures 1, 2 et 3 ci-dessus sont, dans le désordre, un losange, un parallélogramme et un trapèze isocèle. Retrouve lesquelles.
5 Lettres symétriques ★★★
On écrit les lettres en capitales d’imprimerie simples : A, F, H, N, T, Z, E.
- Lesquelles possèdent au moins un axe de symétrie ?
- Pour celles-là, indique si l’axe est vertical, horizontal, ou si elles ont les deux.
6 Distances à l’axe ★★★
Une droite \((d)\) est un axe de symétrie. Le point \(A\) est à \(3\) cm de \((d)\), le point \(B\) est à \(4{,}5\) cm de \((d)\) et le point \(C\) est sur \((d)\). \(A'\), \(B'\) et \(C'\) sont leurs symétriques.
- À quelle distance de \((d)\) se trouvent \(A'\) et \(B'\) ?
- Calcule \(AA'\), \(BB'\) et \(CC'\).
7 Deux fois de suite ★★★
La droite \((d)\) est horizontale et passe par le repère \(3\) de l’axe vertical. Le point \(B\) a pour coordonnées \((2\,;\,1)\).
- Donne les coordonnées de \(B'\), symétrique de \(B\) par rapport à \((d)\).
- Donne les coordonnées du symétrique de \(B'\) par rapport à \((d)\). Que remarques-tu ?
8 Un triangle sur quadrillage ★★★
La droite \((d)\) est horizontale et passe par le repère \(3\) de l’axe vertical. Le triangle \(PQR\) a pour sommets \(P(1\,;\,1)\), \(Q(4\,;\,2)\) et \(R(2\,;\,5)\).
- Détermine les coordonnées des sommets du triangle \(P'Q'R'\), symétrique de \(PQR\).
- Quel sommet de \(PQR\) est le plus proche de l’axe ? Que peux-tu en dire pour son symétrique ?
9 L’arbre et son reflet ★★★
Un arbre de \(9{,}5\) m de haut pousse au bord d’un lac calme, à \(12\) m de la rive. Le lac se comporte comme un miroir : le reflet de l’arbre est le symétrique de l’arbre par rapport à la rive (supposée droite).
- À quelle distance de la rive se trouve le reflet du pied de l’arbre ?
- Quelle est la hauteur du reflet ?
- Quelle distance sépare le pied de l’arbre du pied de son reflet ?
10 Polygones réguliers ★★★
Un polygone régulier a tous ses côtés de même longueur et tous ses angles égaux.
- Complète : triangle équilatéral, carré, pentagone régulier, hexagone régulier, octogone régulier. Combien d’axes de symétrie chacun possède-t-il ?
- Quelle règle peux-tu conjecturer ? Combien d’axes pour un polygone régulier à \(12\) côtés ?
- Un rectangle a \(4\) côtés mais seulement \(2\) axes. Pourquoi n’est-ce pas contradictoire ?
11 Des angles qui se retrouvent ★★★
Le triangle \(A'B'C'\) est le symétrique du triangle \(ABC\). On sait que \(A'B' = 6\) cm, \(B'C' = 7{,}2\) cm, \(A'C' = 4{,}8\) cm, \(\widehat{BAC} = 47^\circ\) et \(\widehat{ABC} = 68^\circ\).
- Donne \(AB\), \(BC\) et \(AC\).
- Donne \(\widehat{B'A'C'}\) et \(\widehat{A'B'C'}\).
- Calcule le périmètre de \(ABC\).
12 Autour de la médiatrice ★★★
Le segment \([AB]\) mesure \(9\) cm, \(I\) est son milieu et \((d)\) est sa médiatrice. Le point \(M\) est sur \((d)\) avec \(MA = 7{,}2\) cm.
- Calcule \(AI\).
- Que vaut \(MB\) ? Justifie.
- Quel angle forment \((d)\) et \((AB)\) ?
- Calcule le périmètre du triangle \(MAB\).
13 Vrai ou faux, justifie ★★★
Réponds par vrai ou faux et justifie.
- Un losange non carré a deux axes de symétrie.
- Un parallélogramme quelconque a un axe de symétrie.
- Deux figures symétriques ont la même aire.
- Un cercle a un seul axe de symétrie.
- Le symétrique d’un angle aigu est un angle obtus.
14 Axe en diagonale ★★★
La droite \((d)\) est la diagonale du quadrillage qui passe par l’origine et par le point \((6\,;\,6)\). On donne \(A(1\,;\,4)\), \(B(2\,;\,1)\) et \(C(5\,;\,3)\).
Pour cette droite, le symétrique d’un point de coordonnées \((x\,;\,y)\) est le point de coordonnées \((y\,;\,x)\). Donne les coordonnées de \(A'\), \(B'\) et \(C'\), puis place-les.
15 Des mots symétriques ★★★
On écrit des mots en capitales simples, sur une ligne horizontale. Un mot a un axe vertical s’il se lit pareil dans un miroir placé au milieu, et un axe horizontal si sa moitié du haut est le symétrique de sa moitié du bas. Pour chaque mot, donne le nombre d’axes : OTTO, COCO, XOX, MATH.
16 Construire à l’équerre ★★★
Reproduis la figure et construis le symétrique du triangle \(EFG\) par rapport à la droite \((d)\) à l’équerre et à la règle.
- Décris les étapes pour construire \(E'\).
- Comment contrôles-tu ton tracé par pliage ?
17 Un rectangle coupé en deux ★★★
\(ABCD\) est un rectangle avec \(AB = 8\) cm et \(BC = 5\) cm. La droite \((d)\) passe par les milieux \(M\) de \([AB]\) et \(N\) de \([CD]\).
- Donne les symétriques de \(A\), \(D\) et du segment \([AD]\) par rapport à \((d)\).
- Calcule \(AM\).
- Calcule le périmètre et l’aire de \(ABCD\), puis ceux du rectangle \(AMND\).
18 Triangle isocèle et axe ★★★
Le triangle \(ABC\) est isocèle en \(A\) : son axe de symétrie est la médiatrice \((d)\) de \([BC]\), qui passe par \(A\). On donne \(BC = 10\) cm et \(\widehat{ABC} = 64^\circ\). Le périmètre de \(ABC\) est \(32\) cm.
- Que vaut le symétrique de \(B\) par rapport à \((d)\) ? Que peux-tu dire de \(AB\) et \(AC\) ?
- Donne \(\widehat{ACB}\).
- Calcule \(AB\).
19 Médiatrice au compas ★★★
Trace un segment \([AB]\) de \(7\) cm.
- Construis sa médiatrice au compas et à la règle non graduée. Décris ta construction.
- Place un point \(M\) sur cette médiatrice, vérifie à la règle que \(MA = MB\).
- Quel est le symétrique de \(A\) par rapport à la médiatrice ?
20 Quatre points symétriques ★★★
Dans un repère dont l’unité est \(1\) cm, on considère le point \(P(3\,;\,2)\). On construit son symétrique par rapport à l’axe vertical, puis les symétriques de ces deux points par rapport à l’axe horizontal.
- Donne les coordonnées des trois autres points.
- Quelle est la nature du quadrilatère formé par les quatre points ?
- Calcule son périmètre et son aire.
21 Symétrique d’une droite ★★★
\((d)\) est un axe de symétrie. Pour chaque droite \(\Delta\), indique la nature de son symétrique.
- \(\Delta\) est perpendiculaire à \((d)\).
- \(\Delta\) est parallèle à \((d)\) et à \(2{,}5\) cm de \((d)\). Quelle distance sépare \(\Delta\) de son symétrique ?
- \(\Delta\) coupe \((d)\) en \(I\) sans être perpendiculaire à \((d)\). Quel point commun a \(\Delta\) avec son symétrique ?
- \(\Delta = (d)\).
22 Le chemin le plus court ★★★
Un randonneur part de \(A\), doit aller remplir sa gourde à la rivière (droite \((d)\)), puis rejoindre \(B\) (figure à main levée).
Il cherche le point \(M\) de la rive qui rend le trajet \(AM + MB\) le plus court. On construit \(A'\), symétrique de \(A\) par rapport à \((d)\).
- Explique pourquoi \(AM = A'M\) pour tout point \(M\) de la rive.
- Où doit-on placer \(M\) pour que \(A'M + MB\) soit le plus court ?
- On mesure \(A'B = 11{,}6\) cm sur le dessin. Pour un autre point \(N\) de la rive, \(NA = 6{,}5\) cm et \(NB = 6\) cm. Compare avec le trajet par \(M\).
23 Programme de construction ★★★
Trace un segment \([AB]\) de \(6\) cm et sa médiatrice \((d)\). Place sur \((d)\) un point \(C\) tel que \(CA = 4\) cm. Construis le point \(D\), symétrique de \(C\) par rapport à la droite \((AB)\).
- Que valent \(CB\), \(DA\) et \(DB\) ? Justifie chaque réponse.
- Quelle est la nature du quadrilatère \(ACBD\) ? Calcule son périmètre.
- Combien d’axes de symétrie cette figure possède-t-elle ?
