Suites et séries de fonctions : exercices de maths Maths Spé à télécharger en PDF

1 Limites simples ★★★

Déterminer la limite simple, si elle existe, de chaque suite :

1. \(f_n(x) = \dfrac{x}{n+1}\) sur \(\mathbb{R}\) ;
2. \(g_n(x) = \left(1 + \dfrac{x}{n}\right)^n\) sur \(\mathbb{R}\) ;
3. \(h_n(x) = e^{-nx}\) sur \([0,+\infty[\) ;
4. \(k_n(x) = \dfrac{\sin x}{\sqrt{n}}\) sur \(\mathbb{R}\).

2 Norme uniforme à calculer ★★★

On pose \(f_n(x) = \dfrac{x}{n+1}\). Calculer \(\|f_n\|_{\infty}\) sur \([0,3]\), puis dire si la convergence vers la fonction nulle est uniforme sur \([0,3]\) et sur \(\mathbb{R}\).

3 Vrai ou faux ? ★★★

Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse, avec une justification courte.

1. La limite simple d’une suite de fonctions continues est toujours continue.
2. Une convergence uniforme sur \(I\) est une convergence simple sur \(I\).
3. Une série qui converge normalement converge uniformément.

4 Normale ou pas ? ★★★

Les séries suivantes convergent-elles normalement sur \(\mathbb{R}\) ?

1. \(\displaystyle\sum_{n \geqslant 1} \frac{\cos(nx)}{n^2}\) ;
2. \(\displaystyle\sum_{n \geqslant 1} \frac{\sin(nx)}{n}\).

5 Une série géométrique ★★★

Montrer que \(\sum_{n \geqslant 0} x^n\) converge normalement sur \([-\tfrac12, \tfrac12]\), puis calculer la somme en \(x = \tfrac13\) et en \(x = -\tfrac12\).

6 Combien de termes ? ★★★

On pose \(f_n(x) = x^n\) sur \([0, \tfrac12]\). Calculer \(\|f_n\|_\infty\), puis déterminer le plus petit entier \(n\) tel que \(\|f_n\|_\infty < 10^{-3}\).

7 Intégrale et limite ★★★

Pour \(f_n(x) = x^n\) sur \([0,1]\), calculer \(\displaystyle\int_0^1 f_n\), puis comparer avec l’intégrale de la limite simple.

8 Un supremum à étudier ★★★

Soit \(f_n(x) = \dfrac{x}{n + x^2}\) sur \(\mathbb{R}\). Déterminer la limite simple, calculer \(\|f_n\|_\infty\) et conclure.

9 Une bosse qui se rétrécit ★★★

Soit \(f_n(x) = \dfrac{n x}{1 + n^2 x^2}\) sur \([0,+\infty[\).

1. Déterminer la limite simple.
2. Calculer \(f_n(1/n)\). La convergence est-elle uniforme sur \([0,+\infty[\) ?
3. Montrer qu’elle est uniforme sur \([a,+\infty[\) pour tout \(a > 0\).

10 Le produit x puissance n par 1 moins x ★★★

Soit \(f_n(x) = x^n(1 - x)\) sur \([0,1]\). Montrer que \((f_n)\) converge uniformément vers \(0\) et calculer \(\|f_n\|_\infty\).

11 Une limite qui casse ★★★

Soit \(f_n(x) = \dfrac{x^n}{1 + x^n}\) sur \([0,1]\).

1. Déterminer la limite simple \(f\).
2. En déduire que la convergence n’est pas uniforme sur \([0,1]\).
3. Montrer qu’elle est uniforme sur \([0,\tfrac23]\).

12 Un cousin de la somme de Bâle ★★★

On pose \(S(x) = \displaystyle\sum_{n \geqslant 1} \frac{x^n}{n^2}\) sur \([-1,1]\). On admet que \(\displaystyle\sum_{n \geqslant 1}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}\).

1. Montrer que \(S\) est continue sur \([-1,1]\).
2. Calculer \(S(1)\).
3. Calculer \(S(1) + S(-1)\) puis \(S(-1)\).

13 Intégrer terme à terme ★★★

Justifier que \(\displaystyle\int_0^{1/2}\frac{dx}{1-x} = \sum_{n=0}^{+\infty}\int_0^{1/2}x^n\,dx\) et en déduire la somme \(\displaystyle\sum_{k \geqslant 1}\frac{1}{k\,2^k}\).

14 Racine régularisée ★★★

Soit \(f_n(x) = \sqrt{x^2 + \tfrac{1}{n^2}}\) sur \(\mathbb{R}\).

1. Montrer que \(f_n\) est de classe \(C^1\) et calculer \(f_n'\).
2. Montrer que \(0 \leqslant f_n(x) - |x| \leqslant \dfrac1n\). En déduire la limite uniforme de \((f_n)\).
3. Cette limite est-elle dérivable en \(0\) ? Que dit-on de \((f_n')\) ?

15 Une intégrale qui s’échappe ★★★

Soit \(f_n(x) = n^2 x\,e^{-nx}\) sur \([0,1]\).

1. Déterminer la limite simple.
2. Calculer \(\displaystyle\int_0^1 f_n(x)\,dx\) à l’aide d’une primitive de \(x\mapsto n^2xe^{-nx}\) et sa limite.
3. Calculer \(\|f_n\|_\infty\) et conclure sur l’uniformité.

16 Une série trigonométrique de classe C1 ★★★

Soit \(S(x) = \displaystyle\sum_{n \geqslant 1}\frac{\sin(nx)}{n^3}\).

1. Montrer que \(S\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}\) et donner \(S'\).
2. Calculer \(S'(0)\) (on admet \(\sum 1/n^2 = \pi^2/6\)).
3. Calculer \(S'(\pi)\) (utiliser l’exercice sur \(\sum x^n/n^2\)).

17 Une somme qui explose en zéro ★★★

Soit \(S(x) = \displaystyle\sum_{n \geqslant 1}\frac{e^{-nx}}{n}\) pour \(x > 0\).

1. Montrer la convergence normale sur \([a,+\infty[\) pour tout \(a > 0\), puis la continuité de \(S\) sur \(]0,+\infty[\).
2. La convergence est-elle normale sur \(]0,+\infty[\) ?
3. Montrer que \(S\) est \(C^1\) et que \(S'(x) = -\dfrac{1}{e^x - 1}\).
4. En déduire \(S(x) = -\ln(1 - e^{-x})\) et calculer \(S(\ln 2)\).

18 Weierstrass et les moments ★★★

Soit \(f\) continue sur \([0,1]\) telle que \(\displaystyle\int_0^1 f(t)\,t^k\,dt = 0\) pour tout entier \(k \geqslant 0\). Montrer que \(f = 0\).

19 Polynômes de Bernstein ★★★

Soit \(f(x) = \left|x - \tfrac12\right|\) sur \([0,1]\) et \(B_n(f)(x) = \displaystyle\sum_{k=0}^n \binom nk f\!\left(\tfrac kn\right)x^k(1-x)^{n-k}\).

1. Calculer \(B_2(f)\).
2. Déterminer \(\|B_2(f) - f\|_\infty\).
3. Calculer \(B_4(f)(\tfrac12)\) et comparer avec \(f(\tfrac12)\).

20 Approcher une racine par des polynômes ★★★

On définit \(f_0 = 0\) et, pour \(x \in [0,1]\), \(f_{n+1}(x) = f_n(x) + \dfrac{x - f_n(x)^2}{2}\).

1. Calculer \(f_1\) et \(f_2\).
2. Montrer par récurrence que \(0 \leqslant f_n(x) \leqslant \sqrt{x}\) et que \(\sqrt{x} - f_{n+1}(x) = (\sqrt{x} - f_n(x))\left(1 - \dfrac{\sqrt{x} + f_n(x)}{2}\right)\).
3. En déduire \(\sqrt{x} - f_n(x) \leqslant \sqrt{x}\left(1 - \tfrac{\sqrt{x}}{2}\right)^n\), puis \(\|\sqrt{\cdot} - f_n\|_\infty \leqslant \dfrac{2}{en}\).

21 Une bosse d’aire qui disparaît ★★★

Soit \(f_n(x) = n x (1-x)^n\) sur \([0,1]\).

1. Déterminer la limite simple.
2. Calculer \(\|f_n\|_\infty\) et sa limite.
3. Calculer \(\displaystyle\int_0^1 f_n\) (on pourra utiliser que \(\int_0^1 x(1-x)^n dx = \dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\)) et conclure.