1 Calculs et équations / 4 pts
- Simplifie \(A = \dfrac{e^{2x+1} \times e^{-x+4}}{e^{x+2}}\).
- Montre que \((e^{x}+1)^{2} - e^{2x} - 1 = 2e^{x}\).
- Résous \(e^{3x-2} = e\).
- Résous \(e^{x^{2}} < e^{x+6}\).
2 Dérivées / 4 pts
Dérive les fonctions suivantes sur \(\mathbb{R}\).
- \(f(x) = 3e^{-2x+1}\)
- \(g(x) = (x-2)\,e^{x}\)
- \(h(x) = e^{2x} + x^{2}\)
- \(k(x) = \dfrac{e^{x}}{e^{x}+2}\)
3 Étude d’une fonction / 6 pts
Soit \(f(x) = (2-x)\,e^{x}\) sur \(\mathbb{R}\).
- Montre que \(f'(x) = (1-x)\,e^{x}\).
- Étudie le signe de \(f'\) et dresse le tableau de variations de \(f\).
- Donne la valeur exacte du maximum de \(f\).
- Détermine l’équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse \(0\).
4 Une suite géométrique / 3 pts
Soit \(u_n = 4\,e^{-0{,}5n}\) pour tout entier \(n\).
- Montre que \((u_n)\) est géométrique ; précise sa raison et son premier terme.
- Étudie son sens de variation.
- Calcule \(u_4\), valeur exacte puis valeur arrondie à \(10^{-3}\) (calculatrice autorisée).
5 Un médicament dans le sang / 3 pts
La concentration d’un médicament dans le sang, en mg/L, est \(C(t) = 8\,e^{-0{,}25t}\), où \(t\) est le temps en heures (calculatrice autorisée).
- Calcule \(C(0)\), puis \(C(4)\) arrondi au centième.
- Calcule \(C'(t)\) et déduis-en le sens de variation de \(C\).
- Donne la vitesse de variation de la concentration à l’instant \(t = 0\).
