Groupes, anneaux et corps : contrôle de maths Maths Sup à télécharger en PDF

1 Une loi sur un intervalle / 3 pts

Sur \(I = ]-1\,;\,1[\), on définit \(x \star y = \dfrac{x + y}{1 + xy}\).

1. Montre que \(I\) est stable par \(\star\) (on pourra étudier \(1 + xy \pm (x+y)\)).
2. On admet l’associativité. Détermine l’élément neutre et le symétrique de \(x\).
3. Calcule \(\dfrac12 \star \dfrac13\).

2 Un morphisme de Z/20Z / 4 pts

Soit \(f : \mathbb{Z}/20\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/20\mathbb{Z}\) définie par \(f(x) = 8x\).

1. Montre que \(f\) est un morphisme de groupes.
2. Détermine \(\mathrm{Ker}\, f\).
3. Détermine \(\mathrm{Im}\, f\).
4. \(f\) est-il injectif ? Vérifie la relation entre les cardinaux.

3 Calculs dans Z/11Z / 4 pts

(a) Justifie que \(\mathbb{Z}/11\mathbb{Z}\) est un corps. (b) Détermine l’inverse de \(7\). (c) Résous \(7x + 3 = 2\). (d) Résous \(x^2 = 5\).

4 Une permutation de S7 / 4 pts

On considère \(\sigma = (4, 3, 1, 6, 7, 2, 5) \in S_7\) (\(\sigma(1) = 4\), \(\sigma(2) = 3\), etc.).

1. Décompose \(\sigma\) en cycles à supports disjoints.
2. Donne sa signature.
3. Donne son ordre.
4. Écris \(\sigma^{-1}\) en ligne.

5 Sommes télescopiques / 3 pts

(a) Démontre que \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(2k - 1) = n^2\) et calcule la somme pour \(n = 30\).

(b) Montre que \(k \cdot k! = (k+1)! - k!\), puis calcule \(\displaystyle\sum_{k=1}^{5} k \cdot k!\).

6 Binôme et dénombrement / 2 pts

(a) Développe \((2x - 1)^4\). (b) Détermine l’entier \(n\) tel que \(\dbinom n2 = 36\).