1 Fourier de l’exponentielle / 6 pts
Soit \(f\) \(2\pi\)-périodique avec \(f(t) = e^{t}\) sur \(]-\pi, \pi]\). (a) Calculer \(c_n(f)\). (b) En déduire \(a_n\) et \(b_n\). (c) Par Dirichlet en \(t = \pi\), calculer \(\sum_{n\in\mathbb{Z}}\dfrac{1}{1+n^2}\).
2 Polynôme trigonométrique et Parseval / 4 pts
Linéariser \(g(t) = \sin^2 t\cos t\), donner ses coefficients de Fourier, puis calculer \(\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}g(t)^2dt\) avec Parseval.
3 Le noyau de Fejér F₂ / 3 pts
(a) Écrire \(F_2\) comme combinaison de cosinus. (b) Calculer \(F_2(0)\). (c) Calculer \(F_2(\pi)\) avec la somme de cosinus puis avec la formule en sinus.
4 Chaleur dans une barre / 4 pts
Une barre de longueur \(\pi\) obéit à \(\partial_tu = \dfrac{1}{2}\partial_{xx}u\), \(u(0,t) = u(\pi,t) = 0\), avec \(u(x,0) = \sin x\cos^2x\). (a) Décomposer \(u(x,0)\) en sinus. (b) Donner \(u(x,t)\). (c) Calculer \(u\Big(\dfrac{\pi}{2}, 1\Big)\) à \(10^{-3}\) près (calculatrice autorisée).
5 Gibbs sur le créneau / 3 pts
Soit \(S_5(t) = \dfrac{4}{\pi}\Big(\sin t + \dfrac{\sin 3t}{3} + \dfrac{\sin 5t}{5}\Big)\) la somme partielle du créneau. Calculer \(S_5\Big(\dfrac{\pi}{2}\Big)\) (calculatrice autorisée) et son écart avec la limite \(1\). Calculer aussi \(S_5\Big(\dfrac{\pi}{10}\Big)\) à \(10^{-2}\) près et commenter.
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