Corrigé du contrôle avec le barème détaillé. Compte tes points et repère ce qu’il faut revoir.
1 Fourier de l’exponentielle / 6 pts
(a) \(c_n = \dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{(1-in)t}dt = \dfrac{1}{2\pi}\cdot\dfrac{e^{(1-in)\pi} - e^{-(1-in)\pi}}{1-in}\) (1 pt). Comme \(e^{\mp in\pi} = (-1)^n\), on obtient \(c_n = \dfrac{(-1)^n\sinh\pi}{\pi(1-in)}\) (1 pt).
(b) \(c_n = \dfrac{(-1)^n\sinh\pi\,(1+in)}{\pi(1+n^2)}\). Comme \(c_n = \dfrac{a_n - ib_n}{2}\), \(a_n = \dfrac{2(-1)^n\sinh\pi}{\pi(1+n^2)}\) (1 pt) et \(b_n = \dfrac{-2n(-1)^n\sinh\pi}{\pi(1+n^2)}\) (1 pt).
(c) En \(t = \pi\), la série vaut \(\dfrac{f(\pi^-) + f(\pi^+)}{2} = \dfrac{e^{\pi} + e^{-\pi}}{2} = \cosh\pi\) (1 pt). Or \(\sum c_ne^{in\pi} = \dfrac{\sinh\pi}{\pi}\sum\dfrac{1+in}{1+n^2} = \dfrac{\sinh\pi}{\pi}\sum\dfrac{1}{1+n^2}\) (la partie impaire s’annule), d’où \(\sum_{n\in\mathbb{Z}}\dfrac{1}{1+n^2} = \pi\coth\pi \approx 3{,}153\) (1 pt).
2 Polynôme trigonométrique et Parseval / 4 pts
\(\sin^2 t = \dfrac{1 - \cos 2t}{2}\), donc \(g = \dfrac{\cos t}{2} - \dfrac{\cos 2t\cos t}{2}\) (1 pt). Avec \(\cos 2t\cos t = \dfrac{\cos 3t + \cos t}{2}\), on obtient \(g(t) = \dfrac{1}{4}\cos t - \dfrac{1}{4}\cos 3t\) (1 pt).
Coefficients : \(a_1 = \dfrac{1}{4}\), \(a_3 = -\dfrac{1}{4}\), tous les autres nuls (1 pt).
Parseval : \(\dfrac{1}{2}\Big(\dfrac{1}{16} + \dfrac{1}{16}\Big) = \dfrac{1}{16}\) (1 pt).
3 Le noyau de Fejér F₂ / 3 pts
(a) \(F_2(s) = 1 + \Big(1 - \dfrac{1}{3}\Big)2\cos s + \Big(1 - \dfrac{2}{3}\Big)2\cos 2s = 1 + \dfrac{4}{3}\cos s + \dfrac{2}{3}\cos 2s\) (1 pt).
(b) \(F_2(0) = 1 + \dfrac{4}{3} + \dfrac{2}{3} = 3 = N+1\) (1 pt).
(c) \(F_2(\pi) = 1 - \dfrac{4}{3} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}\). Par la formule : \(\dfrac{1}{3}\Big(\dfrac{\sin(3\pi/2)}{\sin(\pi/2)}\Big)^2 = \dfrac{1}{3}\) : les deux résultats concordent (1 pt).
4 Chaleur dans une barre / 4 pts
(a) \(\cos^2x = \dfrac{1+\cos2x}{2}\), donc \(u(x,0) = \dfrac{\sin x}{2} + \dfrac{\sin x\cos 2x}{2}\). Or \(\sin x\cos2x = \dfrac{\sin3x - \sin x}{2}\). Donc \(u(x,0) = \dfrac{1}{4}\sin x + \dfrac{1}{4}\sin 3x\) (2 pts).
(b) Avec \(k = \dfrac{1}{2}\) : \(u(x,t) = \dfrac{1}{4}e^{-t/2}\sin x + \dfrac{1}{4}e^{-9t/2}\sin 3x\) (1 pt).
(c) \(\sin\dfrac{\pi}{2} = 1\), \(\sin\dfrac{3\pi}{2} = -1\) : \(u = \dfrac{1}{4}e^{-0{,}5} - \dfrac{1}{4}e^{-4{,}5} \approx 0{,}1516 - 0{,}0028 \approx 0{,}149\) (1 pt).
5 Gibbs sur le créneau / 3 pts
\(S_5\Big(\dfrac{\pi}{2}\Big) = \dfrac{4}{\pi}\Big(1 - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5}\Big) = \dfrac{4}{\pi}\cdot\dfrac{13}{15} = \dfrac{52}{15\pi} \approx 1{,}1035\), écart \(\approx 0{,}10\) avec \(1\) (1 pt).
\(S_5\Big(\dfrac{\pi}{10}\Big) = \dfrac{4}{\pi}\big(\sin 18° + \tfrac13\sin 54° + \tfrac15\sin 90°\big) \approx \dfrac{4}{\pi}(0{,}3090 + 0{,}2697 + 0{,}2) \approx 0{,}99\) (1 pt).
Commentaire : \(S_5\) passe de \(0{,}99\) en \(\dfrac{\pi}{10}\) à \(1{,}10\) en \(\dfrac{\pi}{2}\) ; son pic est en \(\dfrac{\pi}{6}\), où \(S_5\Big(\dfrac{\pi}{6}\Big) = \dfrac{56}{15\pi} \approx 1{,}188 > 1{,}179\) : c’est le dépassement de Gibbs (1 pt).
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