Puissances : exercices corrigés de maths 4ème à télécharger en PDF

1 Lire une puissance ★★★

1. \(3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81\).
2. \(2^7 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 128\).
3. \(6^3 = 6 \times 6 \times 6 = 216\).
4. \(10^5 = 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 100\,000\).

2 Attention aux signes ★★★

1. Exposant pair : \((-2)^4 = 16\).
2. Exposant impair : \((-2)^5 = -32\).
3. Sans parenthèses, le signe moins reste devant : \(-2^4 = -(2^4) = -16\).
4. \((-5)^2 = 25\).
5. L’exposant \(2025\) est impair, donc \((-1)^{2025} = -1\).

3 Écrire avec une puissance ★★★

1. Cinq facteurs \(7\) : \(7^5\).
2. Trois facteurs \(4\) : \(4^3\).
3. Quatre facteurs \((-3)\) : \((-3)^4 = 81\).
4. \((0{,}5)^2 = 0{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}25\).

4 Puissances de 10 en écriture décimale ★★★

\(10^4 = 10\,000\) ; \(10^6 = 1\,000\,000\) ; \(10^0 = 1\) ; \(10^{-2} = 0{,}01\) ; \(10^{-5} = 0{,}00001\) (le \(1\) est au cinquième rang après la virgule).

5 Du décimal à la puissance de 10 ★★★

1. \(100\,000 = 10^5\) (cinq zéros).
2. \(0{,}001 = 10^{-3}\).
3. \(10 = 10^1\).
4. \(0{,}0001 = 10^{-4}\).
5. \(1\,000\,000\,000 = 10^9\) (neuf zéros).

6 Exposants négatifs ★★★

On utilise \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\) : \(2^{-1} = \dfrac{1}{2}\) ; \(5^{-2} = \dfrac{1}{25}\) ; \(3^{-3} = \dfrac{1}{27}\) ; \(4^{-2} = \dfrac{1}{16}\) ; \(10^{-3} = \dfrac{1}{1\,000}\).

7 Premiers produits ★★★

1. On additionne les exposants : \(10^{3+4} = 10^7\).
2. \(5^{2+6} = 5^8\).
3. \(2^{-3+5} = 2^2 = 4\).
4. \(10^{-4+(-2)} = 10^{-6}\).

8 Quotients ★★★

1. On soustrait les exposants : \(10^{8-3} = 10^5\).
2. \(7^{10-7} = 7^3 = 343\).
3. \(10^{2-5} = 10^{-3}\).
4. \(3^{4-(-2)} = 3^6 = 729\).

9 Puissance d’une puissance ★★★

1. On multiplie les exposants : \((10^2)^3 = 10^6\).
2. \((2^3)^2 = 2^6 = 64\).
3. \((5^{-1})^2 = 5^{-2} = \dfrac{1}{25}\).
4. \((10^{-3})^2 = 10^{-6}\).

10 Vrai ou faux ? ★★★

1. Faux : on additionne les exposants, \(2^3 \times 2^4 = 2^7 = 128\) (et non \(2^{12}\)).
2. Vrai : on multiplie les exposants, \(2 \times 4 = 8\).
3. Faux : \(5^2 + 5^3 = 25 + 125 = 150\) alors que \(5^5 = 3\,125\).
4. Faux : \(10^{-2} = \dfrac{1}{100} = 0{,}01\).
5. Faux : \((-2)^2 = (-2) \times (-2) = 4\).

11 Notation scientifique ★★★

1. \(3\,400\,000 = 3{,}4 \times 10^6\).
2. \(0{,}0072 = 7{,}2 \times 10^{-3}\).
3. \(580 = 5{,}8 \times 10^2\).
4. \(0{,}00000091 = 9{,}1 \times 10^{-7}\).
5. \(62\,000\,000\,000 = 6{,}2 \times 10^{10}\).

12 Retour à l’écriture décimale ★★★

1. \(4{,}7 \times 10^3 = 4\,700\).
2. \(8{,}25 \times 10^{-2} = 0{,}0825\).
3. \(1{,}06 \times 10^5 = 106\,000\).
4. \(2 \times 10^{-4} = 0{,}0002\).

13 Le disque dur ★★★

On divise : \(\dfrac{2 \times 10^{12}}{4 \times 10^6} = \dfrac{2}{4} \times 10^{12-6} = 0{,}5 \times 10^6 = 5 \times 10^5\).

On peut stocker \(500\,000\) photos.

14 Simplifier des expressions ★★★

\(A = \dfrac{10^{-3}}{10^{-2}} = 10^{-3-(-2)} = 10^{-1} = 0{,}1\).

\(B = \dfrac{2^8}{2^6} = 2^2 = 4\).

\(C = \dfrac{3^6}{3^4} = 3^2 = 9\).

15 Calculer avec la notation scientifique ★★★

1. \(12 \times 10^3\), qui n’est pas encore scientifique : \(1{,}2 \times 10^4\).
2. \(30 \times 10^{-7} = 3 \times 10^{-6}\).
3. \(\dfrac{9}{3} \times 10^{7-4} = 3 \times 10^3\).
4. \(\dfrac{2{,}4}{8} = 0{,}3\) et \(10^{6-(-3)} = 10^9\), donc \(0{,}3 \times 10^9 = 3 \times 10^8\).

16 La lumière du Soleil ★★★

Durée = distance ÷ vitesse : \(\dfrac{1{,}5 \times 10^8}{3 \times 10^5} = 0{,}5 \times 10^3 = 500\) s.

Comme \(500 = 8 \times 60 + 20\), la lumière met \(8\) min \(20\) s.

17 Les globules rouges ★★★

\(1\) cm \(= 10^{-2}\) m. Le nombre de globules est \(\dfrac{10^{-2}}{7 \times 10^{-6}} = \dfrac{1}{7} \times 10^{4} = \dfrac{10\,000}{7} \approx 1\,428{,}57\).

Il faut environ \(1\,429\) globules rouges.

18 Ranger des nombres ★★★

On met tout en écriture décimale : \(A = 0{,}005\) ; \(B = 0{,}0042\) ; \(C = 48 \times 10^{-4} = 0{,}0048\).

Donc \(B < C < A\).

19 Estimer ★★★

a) \(49\,876 \approx 5 \times 10^4\) et \(0{,}0021 \approx 2 \times 10^{-3}\). Le produit vaut environ \(10 \times 10^1 = 10^2 = 100\). (La valeur exacte \(104{,}7396\) est cohérente.)

b) \(365 \times 24 \times 3\,600 = 31\,536\,000\) s, soit environ \(3{,}15 \times 10^7\) s.

20 Comparer 2 puissance 10 et 1 000 ★★★

a) \(2^{10} = 1\,024\), très proche de \(10^3 = 1\,000\).

b) \(2^{30} = (2^{10})^3 \approx (10^3)^3 = 10^9\). La valeur exacte \(1{,}07 \times 10^9\) confirme que l’ordre de grandeur de \(2^{30}\) est \(10^9\).

21 La feuille pliée ★★★

Après \(n\) pliages, l’épaisseur est \(0{,}1 \times 2^n\) mm.

\(n = 10\) : \(0{,}1 \times 1\,024 = 102{,}4\) mm, soit environ \(10\) cm.

\(n = 20\) : \(0{,}1 \times 1\,048\,576 = 104\,857{,}6\) mm, soit environ \(105\) m.

\(n = 30\) : \(0{,}1 \times 1\,073\,741\,824 \approx 1{,}07 \times 10^8\) mm, soit environ \(107\) km.