Probabilités et échantillonnage : exercices corrigés de maths 2de à télécharger en PDF

1 La roue à huit secteurs ★★★

1. \(\Omega = \{1\,;2\,;3\,;4\,;5\,;6\,;7\,;8\}\), soit 8 issues équiprobables.
2. \(A = \{3\,;6\}\) contient 2 issues, donc \(P(A) = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}\).
3. L’événement est \(\{6\,;7\,;8\}\), de 3 issues : sa probabilité est \(\dfrac{3}{8}\).

2 Le sac de billes ★★★

Le sac contient \(5 + 3 + 7 = 15\) billes, et les tirages sont équiprobables.

1. \(P(\text{bleue}) = \dfrac{3}{15} = \dfrac{1}{5}\).
2. Il y a \(15 - 7 = 8\) billes qui ne sont pas vertes, donc \(P = \dfrac{8}{15}\). On retrouve ce résultat par le contraire : \(1 - \dfrac{7}{15} = \dfrac{8}{15}\).

3 Compléter une loi ★★★

1. La somme des probabilités vaut 1 : \(P(d) = 1 - (0{,}1 + 0{,}35 + 0{,}25) = 1 - 0{,}7 = 0{,}3\).
2. \(P(\{b\,;d\}) = 0{,}35 + 0{,}3 = 0{,}65\).
3. Par le contraire : \(1 - P(a) = 1 - 0{,}1 = 0{,}9\).

4 Vrai ou faux ? ★★★

1. Faux : une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1.
2. Vrai : \(P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}3 = 0{,}7\).
3. Faux : ces trois issues ne sont pas équiprobables. Les vraies issues équiprobables sont PP, PF, FP, FF, donc \(P(\text{deux piles}) = \dfrac{1}{4}\) (et « un de chaque » vaut \(\dfrac{2}{4}\)).
4. Vrai : toutes les issues de \(A\) sont dans \(A \cup B\), donc \(P(A \cup B) \geqslant P(A)\).

5 Trois lancers de pièce ★★★

1. \(\Omega = \{PPP\,;PPF\,;PFP\,;PFF\,;FPP\,;FPF\,;FFP\,;FFF\}\), 8 issues équiprobables.
2. Exactement deux piles : PPF, PFP, FPP, soit 3 issues, donc \(P = \dfrac{3}{8}\).
3. Le contraire de « au moins un pile » est « aucun pile », c’est-à-dire FFF, de probabilité \(\dfrac{1}{8}\). Donc \(P = 1 - \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}\).

6 Une classe de trente élèves ★★★

1. \(P(\text{garçon}) = \dfrac{12}{30} = \dfrac{2}{5}\).
2. \(P(\text{lunettes}) = \dfrac{9}{30} = \dfrac{3}{10}\), et \(P(\text{sans lunettes}) = 1 - \dfrac{3}{10} = \dfrac{7}{10}\).

7 Les fréquences d’un dé ★★★

1. \(31 + 35 + 29 + 36 + 33 + 36 = 200\).
2. Fréquences : face 1 : \(\dfrac{31}{200} = 0{,}155\) ; face 2 : \(0{,}175\) ; face 3 : \(0{,}145\) ; face 4 : \(0{,}18\) ; face 5 : \(0{,}165\) ; face 6 : \(0{,}18\).
3. Les fréquences sont toutes comprises entre \(0{,}145\) et \(0{,}18\), donc proches de \(0{,}167\) : l’écart le plus grand est d’environ \(0{,}022\). Rien ne permet de penser que le dé est déséquilibré ; ces écarts sont de la fluctuation d’échantillonnage.

8 Natation et escalade ★★★

1. \(P(N) = \dfrac{24}{40} = \dfrac{3}{5}\), \(P(E) = \dfrac{18}{40} = \dfrac{9}{20}\), \(P(N \cap E) = \dfrac{7}{40}\).
2. \(P(N \cup E) = \dfrac{24}{40} + \dfrac{18}{40} - \dfrac{7}{40} = \dfrac{35}{40} = \dfrac{7}{8}\).
3. Le contraire de \(N \cup E\) est « aucune activité » : \(1 - \dfrac{7}{8} = \dfrac{1}{8}\), soit 5 adhérents sur 40.

9 La somme de deux dés ★★★

Voici les sommes possibles (ligne : premier dé, colonne : second dé).

1. \(S = 7\) pour 6 couples : (1 ; 6), (2 ; 5), (3 ; 4), (4 ; 3), (5 ; 2), (6 ; 1). Donc \(P = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}\).
2. \(S \geqslant 10\) : (4 ; 6), (5 ; 5), (6 ; 4), (5 ; 6), (6 ; 5), (6 ; 6), soit 6 couples : \(P = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}\).
3. Dans le tableau, 18 sommes sur 36 sont paires : \(P = \dfrac{18}{36} = \dfrac{1}{2}\).

10 Le café du coin ★★★

1. 	Avec viennoiserie	Sans viennoiserie	Total
   Chaude	45	30	75
   Froide	15	30	45
   Total	60	60	120

2. \(P(C) = \dfrac{75}{120} = \dfrac{5}{8}\), \(P(V) = \dfrac{60}{120} = \dfrac{1}{2}\), \(P(C \cap V) = \dfrac{45}{120} = \dfrac{3}{8}\).
3. \(P(C \cup V) = \dfrac{75 + 60 - 45}{120} = \dfrac{90}{120} = \dfrac{3}{4}\).

11 Deux jetons avec remise ★★★

2. \(P(JJ) = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{9}{25}\).
3. \(P(VV) = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{25}\), donc \(P(\text{même couleur}) = \dfrac{9}{25} + \dfrac{4}{25} = \dfrac{13}{25}\). Couleurs différentes : \(1 - \dfrac{13}{25} = \dfrac{12}{25}\) (on vérifie : \(\dfrac{6}{25} + \dfrac{6}{25}\)).

12 Dans un jeu de 32 cartes ★★★

1. \(P(R) = \dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8}\), \(P(C) = \dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4}\), \(P(R \cap C) = \dfrac{1}{32}\) (le roi de cœur).
2. \(P(R \cup C) = \dfrac{4 + 8 - 1}{32} = \dfrac{11}{32}\).
3. C’est le contraire de \(R \cup C\) : \(1 - \dfrac{11}{32} = \dfrac{21}{32}\).

13 Événements compatibles ou non ★★★

1. \(P(A \cup B) = 0{,}5 + 0{,}4 - 0{,}15 = 0{,}75\).
2. Le contraire de \(A \cup B\) a pour probabilité \(1 - 0{,}75 = 0{,}25\).
3. Comme \(P(A \cap B) = 0{,}15 \neq 0\), \(A \cap B\) n’est pas vide : les événements ne sont pas incompatibles. S’ils l’étaient, on aurait \(P(A \cup B) = 0{,}5 + 0{,}4 = 0{,}9\).

14 Cent lancers de pièce ★★★

1. \(\dfrac{1}{\sqrt{100}} = 0{,}1\), donc l’intervalle est \([0{,}5 - 0{,}1\,;0{,}5 + 0{,}1] = [0{,}4\,;0{,}6]\).
2. Avec 56 piles, \(f = 0{,}56 \in [0{,}4\,;0{,}6]\) : le résultat est compatible avec une pièce équilibrée. Avec 63 piles, \(f = 0{,}63 \notin [0{,}4\,;0{,}6]\) : on met en doute l’équilibre de cette pièce (avec un risque d’environ 5 % de se tromper).
3. Pour \(n = 25\) : \(\dfrac{1}{\sqrt{25}} = 0{,}2\), donc \([0{,}3\,;0{,}7]\). L’intervalle est plus large car l’échantillon est plus petit.

15 Le plus grand des deux dés ★★★

Il y a 36 couples équiprobables.

1. \(M = 4\) pour (4 ; 1), (4 ; 2), (4 ; 3), (4 ; 4), (1 ; 4), (2 ; 4), (3 ; 4), soit 7 couples : \(P = \dfrac{7}{36}\).
2. \(M \leqslant 4\) signifie que les deux dés donnent au plus 4 : \(4 \times 4 = 16\) couples, donc \(P = \dfrac{16}{36} = \dfrac{4}{9}\). Le contraire est \(M \geqslant 5\) : \(1 - \dfrac{4}{9} = \dfrac{5}{9}\).
3. \(P(M = 6) = P(M \leqslant 6) - P(M \leqslant 5) = 1 - \dfrac{25}{36} = \dfrac{11}{36}\), car \(M \leqslant 5\) correspond à \(5 \times 5 = 25\) couples.

16 Un test de dépistage ★★★

1. Faux positifs : \(0{,}09 \times 1\,900 = 171\). On obtient :

   	Test positif	Test négatif	Total
   Malade	95	5	100
   Sain	171	1 729	1 900
   Total	266	1 734	2 000

2. \(P(M) = \dfrac{100}{2\,000} = \dfrac{1}{20}\), \(P(T) = \dfrac{266}{2\,000} = \dfrac{133}{1\,000}\), \(P(M \cap T) = \dfrac{95}{2\,000} = \dfrac{19}{400}\).
3. \(P(M \cup T) = \dfrac{100 + 266 - 95}{2\,000} = \dfrac{271}{2\,000}\).
4. Parmi les 266 tests positifs, 95 sont des malades : \(\dfrac{95}{266} = \dfrac{5}{14} \approx 0{,}36\). Moins de 4 positifs sur 10 sont réellement malades : un test positif seul ne suffit pas à conclure.

17 Tirages sans remise ★★★

1. Après une rouge, il reste 3 rouges et 2 noires sur 5 boules : \(\dfrac{3}{5}\) et \(\dfrac{2}{5}\). Après une noire, il reste 4 rouges et 1 noire : \(\dfrac{4}{5}\) et \(\dfrac{1}{5}\).

2. \(P(RR) = \dfrac{4}{6} \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{12}{30} = \dfrac{2}{5}\) et \(P(NN) = \dfrac{2}{6} \times \dfrac{1}{5} = \dfrac{2}{30} = \dfrac{1}{15}\).
3. \(P(RN) = \dfrac{4}{6} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{15}\) et \(P(NR) = \dfrac{2}{6} \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{4}{15}\), donc \(P = \dfrac{8}{15}\). Vérification : \(\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{15} + \dfrac{8}{15} = \dfrac{6 + 1 + 8}{15} = 1\).

18 Le dé à vingt faces ★★★

1. \(A = \{4\,;8\,;12\,;16\,;20\}\), \(B = \{6\,;12\,;18\}\), \(A \cap B = \{12\}\) (multiples communs : multiples de 12).
2. \(P(A \cup B) = \dfrac{5}{20} + \dfrac{3}{20} - \dfrac{1}{20} = \dfrac{7}{20}\).
3. \(1 - \dfrac{7}{20} = \dfrac{13}{20}\).

19 Les clics d’un site ★★★

1. \(\dfrac{1}{\sqrt{400}} = 0{,}05\), donc l’intervalle est \([0{,}25\,;0{,}35]\) (et \(p = 0{,}3\) est bien entre \(0{,}2\) et \(0{,}8\)).
2. Lundi : \(f = \dfrac{126}{400} = 0{,}315\), dans l’intervalle : l’annonce est compatible. Mardi : \(f = \dfrac{150}{400} = 0{,}375\), hors de l’intervalle : on met l’annonce en doute pour mardi (la journée a peut-être été particulière).
3. L’amplitude vaut \(\dfrac{2}{\sqrt{n}}\). On veut \(\dfrac{2}{\sqrt{n}} \leqslant 0{,}04\), soit \(\sqrt{n} \geqslant 50\), donc \(n \geqslant 2\,500\).

20 Dix échantillons simulés ★★★

1. Par exemple =ENT(2*ALEA()) : elle renvoie 0 ou 1 avec la même chance.
2. \(\dfrac{1}{\sqrt{25}} = 0{,}2\), donc \([0{,}3\,;0{,}7]\).
3. Seule \(0{,}72\) est en dehors de l’intervalle : 9 fréquences sur 10 sont dedans. La fréquence \(0{,}72\) correspond à \(0{,}72 \times 25 = 18\) piles.
4. Oui : 9 sur 10 font 90 %, un peu en dessous de 95 %, mais avec seulement 10 échantillons la fluctuation est normale. Avec 1 000 échantillons, on s’attendrait à plus de 950 dans l’intervalle.

21 Cantine et association sportive ★★★

1. \(P(D \cup S) = 0{,}55 + 0{,}4 - 0{,}28 = 0{,}67\).
2. \(P = 1 - 0{,}67 = 0{,}33\), soit \(0{,}33 \times 600 = 198\) élèves.
3. Les demi-pensionnaires qui ne sont pas à l’association sont ceux de \(D\) moins ceux de \(D \cap S\) : \(0{,}55 - 0{,}28 = 0{,}27\), soit \(0{,}27 \times 600 = 162\) élèves.