Probabilités : exercices corrigés de maths 5ème à télécharger en PDF

1 Hasard ou pas ? ★★★

Une expérience est aléatoire si on ne peut pas prévoir son résultat. Ce sont donc les expériences a, c et e.

Les expériences b et d ont toujours le même résultat (\(42\) et mercredi) : elles ne sont pas aléatoires.

2 Issues d’un dé à 8 faces ★★★

1. Il y a \(8\) issues : \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\), \(7\), \(8\).
2. Les nombres premiers entre \(1\) et \(8\) sont \(2\), \(3\), \(5\) et \(7\) (le nombre \(1\) n’est pas premier).
3. Les multiples de \(3\) sont \(3\) et \(6\).

3 Certain, impossible ou possible ? ★★★

1. Tous les jetons sont verts : \(A\) est certain, \(P(A) = 1\).
2. Il n’y a aucun jeton rouge : \(B\) est impossible, \(P(B) = 0\).
3. Les numéros pairs sont \(2\), \(4\), \(6\) : \(C\) est possible sans être certain, \(P(C) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\).
4. Tous les numéros sont inférieurs à \(10\) : \(D\) est certain, \(P(D) = 1\).

4 Dix jetons numérotés ★★★

Les jetons sont identiques : les \(10\) issues sont équiprobables.

1. Un seul jeton convient : \(P = \dfrac{1}{10}\).
2. Les pairs sont \(2, 4, 6, 8, 10\), soit \(5\) jetons : \(P = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}\).
3. Les multiples de \(5\) sont \(5\) et \(10\) : \(P = \dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5}\).
4. Aucun jeton ne dépasse \(10\) : l’événement est impossible, \(P = 0\).

5 Lire l’échelle des probabilités ★★★

1. \(P(\text{bleu}) = \dfrac{5}{10} = 0{,}5\) : c’est le point \(A\). \(P(\text{vert}) = \dfrac{2}{10} = 0{,}2\) : c’est le point \(B\). \(P(\text{jaune}) = \dfrac{3}{10} = 0{,}3\) : c’est le point \(C\).
2. \(P(\text{non bleu}) = 1 - 0{,}5 = 0{,}5\) : on le place au même endroit que \(A\), à \(0{,}5\).

6 Peut-on avoir cette probabilité ? ★★★

Une probabilité est comprise entre \(0\) et \(1\) (inclus).

Conviennent : \(0{,}7\), \(\dfrac{3}{5} = 0{,}6\), \(0\) et \(25\,\% = 0{,}25\).

Ne conviennent pas : \(1{,}3\) (supérieur à \(1\)), \(-0{,}2\) (négatif), \(150\,\% = 1{,}5\) (supérieur à \(1\)) et \(\dfrac{7}{4} = 1{,}75\) (supérieur à \(1\)).

7 Calculer le contraire ★★★

On utilise \(P(\text{non } A) = 1 - P(A)\).

1. \(1 - 0{,}35 = 0{,}65\).
2. \(1 - \dfrac{3}{8} = \dfrac{8}{8} - \dfrac{3}{8} = \dfrac{5}{8}\).
3. \(1 - 1 = 0\) : le contraire d’un événement certain est impossible.
4. \(1 - 0{,}08 = 0{,}92\).

8 La roue de la kermesse ★★★

La roue compte \(10\) secteurs identiques : \(4\) orange, \(3\) bleus, \(2\) verts et \(1\) violet.

1. \(P(\text{bleu}) = \dfrac{3}{10}\).
2. \(P(\text{violet}) = \dfrac{1}{10}\).
3. Il y a \(10 - 4 = 6\) secteurs non orange : \(P = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}\). On retrouve \(1 - \dfrac{4}{10} = \dfrac{6}{10}\).
4. \(4 + 1 = 5\) secteurs conviennent : \(P = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}\).

9 La boîte de bonbons ★★★

1. \(P(\text{fraise}) = \dfrac{6}{20} = \dfrac{3}{10}\).
2. \(P(\text{citron}) = \dfrac{5}{20} = \dfrac{1}{4}\), donc \(P(\text{non citron}) = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}\).
3. \(9 + 6 = 15\) bonbons conviennent : \(P = \dfrac{15}{20} = \dfrac{3}{4}\).

Les réponses b et c sont égales : « ne pas être au citron » revient à « être au caramel ou à la fraise », puisqu’il n’y a que ces trois parfums.

10 Une lettre au hasard ★★★

Le mot PROBABILITE compte \(11\) lettres : P, R, O, B, A, B, I, L, I, T, E. Il y a \(11\) jetons équiprobables, mais les lettres, elles, n’ont pas toutes la même probabilité (le B apparaît deux fois).

1. Le B apparaît deux fois : \(P = \dfrac{2}{11}\).
2. Les voyelles sont O, A, I, I, E : \(P = \dfrac{5}{11}\).
3. Les consonnes sont P, R, B, B, L, T : \(P = \dfrac{6}{11}\). On vérifie : \(\dfrac{5}{11} + \dfrac{6}{11} = 1\).
4. Il n’y a pas de Z : l’événement est impossible, \(P = 0\).

11 Une série de lancers de pièce ★★★

1. Fréquence de « pile » : \(\dfrac{29}{50} = 0{,}58\). Il y a \(50 - 29 = 21\) « face » : fréquence \(\dfrac{21}{50} = 0{,}42\). Leur somme vaut bien \(1\).
2. Pour une pièce équilibrée, \(P(\text{pile}) = \dfrac{1}{2} = 0{,}5\). La fréquence \(0{,}58\) est un peu plus grande, mais avec seulement \(50\) lancers un tel écart est normal : ce n’est pas surprenant.

12 Au jeu de 32 cartes ★★★

Les \(32\) cartes sont équiprobables.

1. Il y a \(4\) as : \(P = \dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8}\).
2. Il y a \(8\) cœurs : \(P = \dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4}\).
3. Il y a \(3\) figures par couleur, donc \(3 \times 4 = 12\) figures : \(P = \dfrac{12}{32} = \dfrac{3}{8}\).
4. \(P(\text{non as}) = 1 - \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}\). On retrouve \(\dfrac{28}{32} = \dfrac{7}{8}\).

13 Vrai ou faux ? ★★★

1. Faux. Deux « pile » de suite arrivent avec une pièce équilibrée ; deux lancers ne suffisent pas pour conclure.
2. Faux. Une probabilité est toujours inférieure ou égale à \(1\).
3. Vrai. \(1 - 0{,}4 = 0{,}6\).
4. Vrai. Les pairs sont \(2, 4, 6\) et les impairs \(1, 3, 5\) : chacun a la probabilité \(\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\).

14 Analyser un diagramme ★★★

1. \(5 + 8 + 6 + 7 + 6 + 8 = 40\).
2. Le \(6\) est sorti \(8\) fois : fréquence \(\dfrac{8}{40} = \dfrac{1}{5} = 0{,}2 = 20\,\%\).
3. Résultats pairs : \(8 + 7 + 8 = 23\) fois sur \(40\), donc \(\dfrac{23}{40} = 0{,}575\). La probabilité théorique est \(\dfrac{3}{6} = 0{,}5\) : la fréquence en est assez proche pour seulement \(40\) lancers.

15 Le dé à douze faces ★★★

Il y a \(12\) issues équiprobables.

\(A\) : \(3, 6, 9, 12\), soit \(4\) issues, donc \(P(A) = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}\).

\(B\) : les diviseurs de \(12\) sont \(1, 2, 3, 4, 6, 12\), soit \(6\) issues, donc \(P(B) = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}\).

\(C\) : les nombres premiers sont \(2, 3, 5, 7, 11\), soit \(5\) issues, donc \(P(C) = \dfrac{5}{12}\).

\(P(\text{non } C) = 1 - \dfrac{5}{12} = \dfrac{7}{12}\).

16 Les billes de Noé ★★★

1. Le nombre de billes rouges est \(\dfrac{3}{8} \times 24 = 9\). Il y a donc \(24 - 9 = 15\) billes bleues.
2. Le sac contient maintenant \(24 + 8 = 32\) billes, dont \(9 + 8 = 17\) rouges. La probabilité est \(\dfrac{17}{32}\), soit environ \(0{,}53\), plus grande qu’avant (\(0{,}375\)).

17 Un jeu équitable ? ★★★

1. Multiples de \(4\) : \(4, 8, 12\), donc \(P(\text{Lina}) = \dfrac{3}{15} = \dfrac{1}{5}\). Nombres premiers : \(2, 3, 5, 7, 11, 13\), donc \(P(\text{Malo}) = \dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5}\). Malo a deux fois plus de chances : le jeu n’est pas équitable.
2. Aucun numéro n’est à la fois multiple de \(4\) et premier, donc \(3 + 6 = 9\) jetons font gagner l’un des deux. Il en reste \(15 - 9 = 6\) (\(1, 6, 9, 10, 14, 15\)). La probabilité est \(\dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5}\).

18 Composer un sac ★★★

Nombre de rouges : \(0{,}35 \times 20 = 7\). Nombre de verts : \(0{,}25 \times 20 = 5\). Il reste \(20 - 7 - 5 = 8\) jetons bleus.

\(P(\text{bleu}) = \dfrac{8}{20} = 0{,}4\). On peut aussi calculer \(1 - 0{,}35 - 0{,}25 = 0{,}4\).

Il faut donc \(7\) jetons rouges, \(5\) verts et \(8\) bleus.

19 Un dé en forme de pyramide ★★★

1. Le total est \(27 + 33 + 31 + 29 = 120\). Fréquences : \(\dfrac{27}{120} = 0{,}225\) ; \(\dfrac{33}{120} = 0{,}275\) ; \(\dfrac{31}{120} \approx 0{,}258\) ; \(\dfrac{29}{120} \approx 0{,}242\).
2. Pour un dé équilibré, chaque face a la probabilité \(\dfrac{1}{4} = 0{,}25\). Toutes les fréquences en sont proches (écart d’au plus \(0{,}025\)) : rien ne permet de dire que le dé est truqué.
3. On s’attend à environ \(\dfrac{1}{4} \times 1\,200 = 300\) fois le \(3\), sans que ce soit un nombre exact.

20 Choisir un élève ★★★

1. \(0{,}28 \times 25 = 7\) élèves portent des lunettes, donc \(25 - 7 = 18\) n’en portent pas.
2. \(P = 1 - 0{,}28 = 0{,}72\). On retrouve \(\dfrac{18}{25} = 0{,}72\).
3. Parmi les \(10\) garçons, \(10 - 4 = 6\) n’ont pas de lunettes. La probabilité est \(\dfrac{6}{25} = 0{,}24\).