Symétrie centrale : exercices de maths 5ème à télécharger en PDF

1 Longueur d’un segment ★★★

Le point \(O\) est le milieu du segment \([MM']\) et \(OM = 5{,}3\) cm. Calcule \(OM'\) puis \(MM'\).

2 Vrai ou faux ? ★★★

Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse.

1. Le symétrique du centre \(O\) par rapport à \(O\) est \(O\).
2. Si \(A'\) est le symétrique de \(A\) par rapport à \(O\), alors \(A\) est le symétrique de \(A'\) par rapport à \(O\).
3. Les points \(A\), \(O\) et \(A'\) sont toujours alignés.
4. On a \(OA' = 2 \times OA\).
5. Un triangle quelconque possède un centre de symétrie.

3 Placer des symétriques sur un quadrillage ★★★

Sur le quadrillage ci-dessous, \(O\) est le point \((5 \,;\, 4)\), \(A = (2 \,;\, 6)\), \(B = (3 \,;\, 2)\) et \(C = (8 \,;\, 3)\).

Donne les coordonnées des symétriques \(A'\), \(B'\) et \(C'\) de \(A\), \(B\) et \(C\) par rapport à \(O\).

4 Lettres et centre de symétrie ★★★

On écrit les lettres majuscules en écriture bâton : E, H, L, N, T, X, Z, A, S, O. Lesquelles ont un centre de symétrie ? Où est-il ?

5 Triangle et son symétrique ★★★

Dans le triangle \(ABC\), \(AB = 7\) cm, \(BC = 4{,}5\) cm et \(\widehat{ABC} = 63^\circ\). Le triangle \(A'B'C'\) est son symétrique par rapport à un point \(O\). Donne \(A'B'\), \(B'C'\) et \(\widehat{A'B'C'}\).

6 Diagonales d’un rectangle ★★★

\(ABCD\) est un rectangle de centre \(O\). Sa diagonale \([AC]\) mesure \(13\) cm. Que valent \(BD\) et \(OB\) ?

7 Deux cercles symétriques ★★★

Un cercle \(\mathcal{C}\) a pour centre \(C\) et pour rayon \(3{,}5\) cm. Le point \(O\) est tel que \(CO = 4\) cm. On construit le symétrique \(\mathcal{C}'\) de \(\mathcal{C}\) par rapport à \(O\).

1. Quel est le rayon de \(\mathcal{C}'\) ? Où est son centre \(C'\) ? Calcule \(CC'\).
2. Les deux cercles se coupent-ils ?

8 Un parallélogramme et son centre ★★★

\(ABCD\) est un parallélogramme de centre \(O\). On donne \(AO = 5{,}5\) cm, \(BO = 3{,}5\) cm, \(AB = 6\) cm et \(BC = 7\) cm.

1. Calcule \(AC\) et \(BD\).
2. Donne \(CD\) et calcule le périmètre de \(ABCD\).

9 Coordonnées de symétriques ★★★

Sur un quadrillage, \(O = (6 \,;\, 5)\). Place et donne les coordonnées des symétriques par rapport à \(O\) des points \(A = (2 \,;\, 3)\), \(B = (4 \,;\, 8)\), \(C = (9 \,;\, 7)\) et \(D = (1 \,;\, 6)\).

10 Vrai ou faux, avec justification ★★★

Dis si chaque phrase est vraie ou fausse, et justifie.

1. Le symétrique d’une droite \(d\) par rapport à un point \(O\) est une droite parallèle à \(d\).
2. Un angle aigu a pour symétrique un angle obtus.
3. Si \(AB = 5\) cm, alors \(A'B' = 5\) cm.
4. Un triangle et son symétrique n’ont pas forcément la même aire.
5. Si \(M\) est sur le cercle de centre \(O\) et de rayon \(r\), alors \(M'\) est aussi sur ce cercle.

11 Un point sur un segment ★★★

Soit \([AB]\) un segment de \(8\) cm et \(O\) son milieu. Le point \(M\) est sur \([AB]\) avec \(AM = 3\) cm. Soit \(M'\) le symétrique de \(M\) par rapport à \(O\).

1. Où est le symétrique de \(A\) ? De \(B\) ?
2. Calcule \(OM\), \(AM'\) et \(MM'\).

12 Périmètre et nature d’un quadrilatère ★★★

Dans le triangle \(ABC\), \(AB = 5\) cm, \(AC = 6\) cm et \(BC = 7\) cm. Le triangle \(A'B'C'\) est son symétrique par rapport à \(O\).

1. Calcule le périmètre de \(A'B'C'\).
2. Quelle est la nature du quadrilatère \(ABA'B'\) ? Pourquoi ?

13 La grande roue ★★★

L’axe d’une grande roue est à \(28\) m au-dessus du sol. Son rayon est de \(25\) m. Une cabine \(A\), fixée à la roue, est située \(15\) m au-dessus de l’axe \(O\). La cabine \(A'\) est diamétralement opposée, donc symétrique de \(A\) par rapport à \(O\).

1. Quelle est la distance \(AA'\) ?
2. À quelle hauteur du sol se trouve \(A\) ? Et \(A'\) ?
3. Quand la cabine \(A\) est au sommet de la roue, à quelle hauteur est \(A'\) ?

14 Angles d’un parallélogramme ★★★

\(ABCD\) est un parallélogramme de centre \(O\), avec \(AB = 4{,}8\) cm et \(\widehat{ABC} = 110^\circ\).

1. Donne le symétrique de \([AB]\) et déduis-en \(CD\).
2. Quel est le symétrique de l’angle \(\widehat{ABC}\) ? Donne la mesure de \(\widehat{CDA}\).
3. Calcule \(\widehat{BAD}\), sachant que deux angles consécutifs d’un parallélogramme sont supplémentaires.

15 Un triangle et son demi-tour ★★★

Dans un repère quadrillé, on donne les points \(P = (0 \,;\, 0)\), \(Q = (4 \,;\, 0)\) et \(R = (2 \,;\, 3)\). Soit \(I\) le milieu de \([QR]\).

1. Donne les coordonnées de \(I\).
2. Quel est le symétrique de \(Q\) par rapport à \(I\) ? De \(R\) ? Calcule les coordonnées du symétrique \(P'\) de \(P\).
3. Quelle est la nature du quadrilatère \(PQP'R\) ? Calcule son aire, sachant que l’aire de \(PQR\) vaut \(\dfrac{4 \times 3}{2}\).

16 Construire le symétrique d’un triangle ★★★

Construis un triangle \(EFG\) avec \(EF = 4\) cm, \(FG = 5\) cm et \(EG = 6\) cm, puis place un point \(O\) à l’extérieur du triangle. Construis à la règle et au compas le symétrique \(E'F'G'\) de \(EFG\) par rapport à \(O\), puis vérifie par mesure que les longueurs sont conservées.

17 Une démonstration de parallélisme ★★★

Soit \(A\), \(B\) deux points et \(O\) un point extérieur à la droite \((AB)\). \(A'\) et \(B'\) sont les symétriques de \(A\) et \(B\) par rapport à \(O\). Démontre que \(ABA'B'\) est un parallélogramme, puis que \((AB)\) et \((A'B')\) sont parallèles et que \(A'B' = AB\).

18 Deux cercles et un point de symétrie ★★★

Un cercle \(\mathcal{C}\) a pour centre \(I\) et pour rayon \(5\) cm. Le point \(O\) est tel que \(OI = 3\) cm. \(\mathcal{C}'\) est le symétrique de \(\mathcal{C}\) par rapport à \(O\), de centre \(I'\).

1. Calcule \(II'\) et donne le rayon de \(\mathcal{C}'\).
2. Combien les deux cercles ont-ils de points communs ? (Compare \(II'\) et \(2 \times 5\).)
3. Soit \(M\) un point commun aux deux cercles. Démontre que \(M'\), son symétrique, est aussi commun aux deux cercles, et en déduire la position de \(O\) par rapport aux deux points communs.

19 Le verger ★★★

Un verger a la forme d’un parallélogramme \(ABCD\) de centre \(O\), avec \(AC = 50\) m. Le jardinier plante un pommier en \(M\), sur \([AC]\), à \(18\) m de \(A\), puis un second pommier en \(M'\), symétrique de \(M\) par rapport à \(O\).

1. Où se trouve le puits au centre ? Calcule \(AO\).
2. Calcule \(OM\), puis \(AM'\) et la distance \(MM'\) entre les deux arbres.

20 Le carrelage ★★★

Pour carreler une terrasse de \(4{,}8\) m², on utilise des dalles en forme de parallélogramme. Chaque dalle est obtenue en associant un triangle de base \(20\) cm et de hauteur \(12\) cm à son symétrique par rapport au milieu d’un côté.

1. Calcule l’aire d’un triangle, puis celle d’une dalle, en cm².
2. Convertis \(4{,}8\) m² en cm², puis calcule le nombre de dalles nécessaires.