Logique et algorithmique : exercices corrigés de maths 2de à télécharger en PDF

1 Implication et réciproque ★★★

1. Vraie : \(10k = 5 \times 2k\). Réciproque : « si un entier est multiple de \(5\), alors il est multiple de \(10\) », fausse : \(15\) est multiple de \(5\) mais pas de \(10\).
2. Vraie : un carré a quatre côtés égaux. Réciproque : « si un quadrilatère est un losange, alors c’est un carré », fausse : un losange dont les angles ne sont pas droits n’est pas un carré.

2 Hypothèse et conclusion ★★★

Hypothèse : « le triangle est équilatéral ». Conclusion : « ses trois angles mesurent \(60^\circ\) ».

Réciproque : « si un triangle a trois angles de \(60^\circ\), alors il est équilatéral ». Elle est vraie : deux angles égaux entraînent deux côtés égaux, et trois angles égaux entraînent trois côtés égaux. On a donc une équivalence.

3 Lire des quantificateurs ★★★

1. « Le carré de tout réel est positif ou nul » : vraie.
2. « Il existe un réel dont le carré vaut \(-4\) » : fausse, un carré n’est jamais négatif.
3. « Il existe un entier naturel qui, augmenté de \(3\), donne \(10\) » : vraie, avec \(n = 7\).

4 Écrire des négations ★★★

1. Au moins un élève de la classe a \(15\) ans ou moins.
2. Tous les joueurs de l’équipe ont marqué \(3\) buts ou moins.
3. Au moins un nombre de la liste est impair.

5 Chasse au contre-exemple ★★★

1. \(3 + 5 = 8\) : deux impairs dont la somme est paire.
2. Pour \(n = 1\) : \(1^2 = 1\) et \(1 \gt 1\) est faux. (\(n = 0\) convient aussi.)

6 Suivre des affectations ★★★

Après a = 3 : \(a = 3\). Après b = a + 4 : \(b = 7\). Après a = b * 2 : \(a = 14\). Après b = a - b : \(b = 14 - 7 = 7\).

Valeurs finales : \(a = 14\) et \(b = 7\).

7 Que renvoie ce programme ? ★★★

\(x = 5\), puis \(y = 10\), puis \(x = 10 - 3 = 7\). Le programme affiche \(x + y = 7 + 10 = 17\).

8 Équivalence ou non ? ★★★

1. Fausse : \(x = -3\) vérifie \(x^2 = 9\) mais pas \(x = 3\).
2. Vraie : on passe d’un membre à l’autre en soustrayant ou en ajoutant \(4\), opérations réversibles.
3. Fausse : \(x = -3\) donne \(x^2 = 9 \gt 4\), mais \(-3 \gt 2\) est faux. L’implication « \(x \gt 2 \Rightarrow x^2 \gt 4\) » est vraie, pas sa réciproque.

9 Un multiple de 6 ★★★

Si \(n\) est multiple de \(4\) et de \(3\), alors \(n = 4a\) et \(3\) divise \(4a\) ; comme \(4a = 3a + a\), \(3\) divise la différence \(4a - 3a = a\), donc \(a = 3b\) et \(n = 12b\) : \(n\) est multiple de \(12\).

Réciproque : si \(n = 12b\), alors \(n = 4 \times 3b = 3 \times 4b\), multiple de \(4\) et de \(3\). Les deux sens sont vrais : c’est une équivalence.

10 Disjonction de cas ★★★

Soit \(n\) un entier quelconque. Si \(n\) est pair, alors \(n(n + 1)\) est un produit dont un facteur est pair : il est pair.

Si \(n\) est impair, alors \(n + 1\) est pair, et \(n(n + 1)\) est encore pair.

Tout entier étant pair ou impair, \(n(n + 1)\) est pair pour tout entier \(n\).

11 Contraposée à l’œuvre ★★★

Contraposée : « si \(n\) est pair, alors \(n^2\) est pair ».

Supposons \(n\) pair : \(n = 2k\) avec \(k\) entier. Alors \(n^2 = 4k^2 = 2 \times 2k^2\), qui est pair.

La contraposée est vraie, donc l’implication de départ aussi : si \(n^2\) est impair, alors \(n\) est impair.

12 Somme de carrés ★★★

La boucle fait prendre à \(i\) les valeurs \(1, 2, 3, 4, 5\).

Le programme affiche \(55\) : c’est la somme \(1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2\).

13 Un nombre qu’on divise ★★★

Valeurs de \(u\) : \(100 \to 50 \to 25 \to 12{,}5 \to 6{,}25\). Tant que \(u \gt 10\) on continue : \(100, 50, 25\) et \(12{,}5\) sont supérieurs à \(10\), ce qui fait \(4\) passages. Après le quatrième, \(u = 6{,}25 \lt 10\) : la boucle s’arrête.

Le programme affiche \(n = 4\) et \(u = 6{,}25\).

14 Une fonction par morceaux ★★★

\(7\) est impair : \(f(7) = 3 \times 7 + 1 = 22\). Puis \(22\) est pair : \(f(22) = 11\). Puis \(11\) est impair : \(f(11) = 34\). Puis \(f(34) = 17\). Puis \(17\) est impair : \(f(17) = 52\).

La suite obtenue est donc \(7, 22, 11, 34, 17, 52\).

15 La tirelire de Maëlle ★★★

Programme :

somme = 40
semaines = 0
while somme < 200:
    somme = somme + 15
    semaines = semaines + 1
print(semaines)

Après \(k\) semaines elle a \(40 + 15k\) euros. On cherche le plus petit \(k\) avec \(40 + 15k \geqslant 200\), soit \(k \geqslant \dfrac{160}{15} \approx 10{,}67\), donc \(k = 11\).

Vérification : après \(10\) semaines, \(190\) € (insuffisant) ; après \(11\) semaines, \(205\) €. Il lui faut \(11\) semaines.

16 Quantificateurs et négation ★★★

1. Pour \(x = 1{,}5\) : \(2{,}25 - 4{,}5 + 2 = -0{,}25 \lt 0\), donc \(Q(1{,}5)\) est vraie. Pour \(x = 3\) : \(9 - 9 + 2 = 2\), qui n’est pas négatif : \(Q(3)\) est fausse.
2. Oui : \(x = 1{,}5\) est un exemple, donc la proposition en \(\exists\) est vraie.
3. La négation est « \(\exists x \in \mathbb{R},\ x^2 - 3x + 2 \geqslant 0\) ». Elle est vraie, avec \(x = 3\) : c’est un contre-exemple à « \(\forall x,\ Q(x)\) ».

17 Un polynôme trompeur ★★★

Vérifier quelques valeurs ne prouve rien. Poursuivons : \(n = 4 : 31\) ; \(n = 5 : 41\) ; \(n = 6 : 53\) ; \(n = 7 : 67\) ; \(n = 8 : 83\) ; \(n = 9 : 101\), tous premiers.

Mais pour \(n = 10\) : \(10^2 + 10 + 11 = 121 = 11 \times 11\), qui n’est pas premier. C’est un contre-exemple : l’affirmation de Léo est fausse.

18 Chercher le premier entier ★★★

Il faut continuer tant que \(n^2\) n’est pas encore supérieur à \(500\) : la condition est n * n <= 500.

On sait que \(22^2 = 484 \leqslant 500\) et \(23^2 = 529 \gt 500\). La boucle s’arrête donc quand \(n = 23\).

Le programme affiche \(23\).

19 Absurde : pas de solution entière ★★★

Supposons qu’il existe des entiers \(x\) et \(y\) avec \(x^2 - 4y = 2\). Alors \(x^2 = 4y + 2 = 2(2y + 1)\) est pair, donc \(x\) est pair (si \(x\) était impair, \(x^2\) le serait).

Écrivons \(x = 2k\) : \(4k^2 = 4y + 2\), donc \(2k^2 = 2y + 1\). Le membre de gauche est pair et celui de droite est impair : contradiction.

L’hypothèse est absurde : il n’existe aucun tel couple.

20 Multiples de 3 ou de 5 ★★★

Le « ou » est inclusif : la condition est vraie pour un entier multiple de \(3\), ou de \(5\), ou des deux. Pour \(k\) de \(1\) à \(20\) (le \(21\) est exclu), les valeurs retenues sont \(3, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20\).

Leur somme vaut \(3 + 5 + 6 + 9 + 10 + 12 + 15 + 18 + 20 = 98\) et il y en a \(9\). Le programme affiche \(98\) et \(9\).

21 Équivalence et équation ★★★

Un produit de deux facteurs est nul si et seulement si l’un au moins des facteurs est nul. Ainsi \((x - 2)(x + 5) = 0 \Leftrightarrow x - 2 = 0\) ou \(x + 5 = 0 \Leftrightarrow x = 2\) ou \(x = -5\).

Développons : \((x - 2)(x + 5) = x^2 + 5x - 2x - 10 = x^2 + 3x - 10\). Donc \(x^2 + 3x - 10 = 0\) équivaut à la même chose : les solutions sont \(2\) et \(-5\).

Vérification : \(2^2 + 6 - 10 = 0\) et \((-5)^2 - 15 - 10 = 0\).