Logique et algorithmique : corrigé du contrôle de maths 2de à télécharger en PDF

1 Implication, réciproque, contraposée / 4 pts

1. Vraie : \(12k = 4 \times 3k\), donc un multiple de \(12\) est un multiple de \(4\) (1 pt).
2. Réciproque : « si un entier est multiple de \(4\), alors il est multiple de \(12\) » (1 pt). Elle est fausse : \(20\) est multiple de \(4\) mais pas de \(12\) (1 pt).
3. Contraposée : « si un entier n’est pas multiple de \(4\), alors il n’est pas multiple de \(12\) » (1 pt).

2 Quantificateurs / 3 pts

1. Vraie : un carré est toujours positif ou nul (1 pt).
2. Fausse : \((x - 2)^2 \geqslant 0\) pour tout réel \(x\), aucun \(x\) ne convient (1 pt).
3. Fausse : pour \(n = 1\), \(1^2 = 1\) et \(2n = 2\), or \(1 \geqslant 2\) est faux (1 pt).

3 Prouver ou réfuter / 3 pts

1. Soit \(n\) un entier. La somme est \(n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1)\) (1 pt), multiple de \(3\) car \(n + 1\) est un entier (1 pt).
2. Non : \(1 \times 2 = 2\) n’est pas un multiple de \(3\). C’est un contre-exemple (1 pt).

4 Tableau de suivi / 4 pts

\(i\) prend les valeurs \(1, 2, 3\). Au départ \(a = 2\), \(b = 5\).

Chaque ligne exacte rapporte (1 pt), soit 3 pts pour le tableau. Le programme affiche \(14\) et \(2\) (1 pt).

5 Une boucle tant que / 3 pts

Les valeurs de \(u\) sont \(2, 6, 18, 54, 162\) (1 pt). À \(u = 54\) le test \(54 \lt 150\) est vrai, on passe à \(162\) ; à \(162\) le test est faux (1 pt).

Il y a eu \(4\) passages : le programme affiche \(162\) et \(4\) (1 pt).

6 Écrire un programme / 3 pts

Exemple de programme (2 pts : boucle correcte, test avec %, compteur) :

N = 0
for k in range(1, 101):
    if k % 7 == 0:
        N = N + 1
print(N)

Les multiples de \(7\) sont \(7 \times 1, \dots, 7 \times 14 = 98\) (car \(7 \times 15 = 105 \gt 100\)). Le programme affiche \(14\) (1 pt).