21 exercices classés par difficulté (★ facile, ★★ moyen, ★★★ difficile). Cherche d’abord sans regarder le corrigé !
1 Taux d’accroissement ★★★
Soit \( f(x)=x^2+3x \). Calculer \( f'(2) \) à l’aide du taux d’accroissement.
2 Dérivées usuelles ★★★
Dériver sur \( ]0,+\infty[ \) la fonction \( f(x)=5x^4-3\sqrt{x}+\dfrac{2}{x} \).
3 Tangente à une courbe ★★★
Déterminer l’équation de la tangente à la courbe de \( f(x)=x\ln x \) au point d’abscisse \( 1 \).
4 Dérivées composées ★★★
Dériver : a) \( g(x)=(2x+1)^5 \) ; b) \( h(x)=e^{3x^2-x} \).
5 Dérivabilité en 0 ★★★
a) La fonction valeur absolue est-elle dérivable en \( 0 \) ? b) Même question pour \( f(x)=x|x| \).
6 Approximer une exponentielle ★★★
Avec le DL d’ordre 3 de \( e^x \) en \( 0 \), donner une valeur approchée de \( e^{0{,}1} \).
7 Rolle sur un polynôme ★★★
Soit \( f(x)=x^3-3x+1 \) sur \( [-\sqrt3,\sqrt3] \). Montrer que le théorème de Rolle s’applique et trouver les réels \( c \) obtenus.
8 Accroissements finis explicites ★★★
Pour \( f(x)=\sqrt x \) sur \( [1,9] \), déterminer le réel \( c \) donné par l’égalité des accroissements finis.
9 Encadrer un logarithme ★★★
a) Montrer que pour tout \( x>0 \) : \( \dfrac{x}{1+x}<\ln(1+x)
10 Convexité d’un polynôme ★★★
Étudier la convexité de \( f(x)=x^4-6x^2+x \) et donner ses points d’inflexion.
11 Inégalité de convexité ★★★
a) Montrer que \( e^x\ge1+x \) pour tout réel \( x \). b) Montrer que \( \ln(1+t)\le t \) pour \( t>-1 \), puis que \( \left(1+\dfrac1n\right)^n\le e \) pour \( n\ge1 \).
12 Produit de DL ★★★
Donner le DL à l’ordre 3 en \( 0 \) de \( f(x)=e^x\cos x \), puis la position de la courbe par rapport à sa tangente en \( 0 \).
13 Limite par DL ★★★
Calculer \( \displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x-x}{x^3} \).
14 Inverse d’un trinôme ★★★
Déterminer le DL à l’ordre 3 en \( 0 \) de \( \dfrac{1}{1+x+x^2} \).
15 DL de la tangente ★★★
Déterminer le DL à l’ordre 5 en \( 0 \) de \( \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} \).
16 Limite d’une puissance ★★★
Calculer \( \displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{e-(1+x)^{1/x}}{x} \).
17 Courbe et tangente ★★★
Soit \( f(x)=\ln(\cos x) \) sur \( \left]-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\right[ \). Donner son DL d’ordre 4 en \( 0 \), puis la position de la courbe par rapport à sa tangente en \( 0 \).
18 Nombre de racines ★★★
Montrer que \( P(x)=x^3+2x-5 \) a exactement une racine réelle, puis la situer entre deux entiers. Généraliser à \( x^3+px+q \) avec \( p>0 \).
19 Dérivée n-ième ★★★
Calculer la dérivée \( n \)-ième de \( f(x)=x^2e^x \) à l’aide de la formule de Leibniz, puis vérifier pour \( n=3 \).
20 Asymptote par DL ★★★
Soit \( g(x)=\sqrt{x^2+x+1} \). Montrer que la courbe admet en \( +\infty \) une asymptote oblique et préciser la position de la courbe.
21 Deux limites en une ★★★
Calculer a) \( \displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\cos x-1+\frac{x^2}{2}}{x^4} \) ; b) \( \displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x)-x+\frac{x^2}{2}}{x^3} \).
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