21 exercices classés par difficulté (★ facile, ★★ moyen, ★★★ difficile). Cherche d’abord sans regarder le corrigé !
1 Normes de la fonction identité ★★★
Sur \([0,1]\) muni de la mesure de Lebesgue, on considère \(f(x)=x\). Calculer \(\|f\|_p\) pour \(p=1\), \(p=2\) et \(p=4\), puis ranger ces trois nombres.
2 Trois normes d’un vecteur ★★★
Dans \(\mathbb R^3\), on pose \(x=(3,-4,12)\). Calculer \(\|x\|_1\), \(\|x\|_2\) et \(\|x\|_\infty\).
3 Cauchy–Schwarz et Minkowski sur un exemple ★★★
Dans \(\mathbb R^3\) euclidien, soit \(x=(1,2,3)\) et \(y=(4,-1,2)\). Calculer \(\langle x,y\rangle\), \(\|x\|_2\), \(\|y\|_2\) et vérifier numériquement l’inégalité de Cauchy–Schwarz et l’inégalité de Minkowski pour \(p=2\).
4 Pourquoi p = 1/2 ne donne pas une norme ★★★
Pour \(x\in\mathbb R^2\), on pose \(N(x)=\big(|x_1|^{1/2}+|x_2|^{1/2}\big)^2\). Montrer que \(N\) ne vérifie pas l’inégalité triangulaire en choisissant \(x=(1,0)\) et \(y=(0,1)\).
5 La norme 1 n’est pas euclidienne ★★★
Dans \(\mathbb R^2\), on prend \(x=(1,0)\) et \(y=(0,1)\). Calculer les deux membres de l’identité du parallélogramme pour la norme \(\|\cdot\|_1\). Que peut-on en conclure ?
6 Projeter sur la droite des vecteurs constants ★★★
Dans \(\mathbb R^4\) euclidien, soit \(x=(1,2,3,4)\) et \(F=\operatorname{Vect}(u)\) avec \(u=(1,1,1,1)\). Déterminer \(p_F(x)\) et la distance de \(x\) à \(F\).
7 Un bord d’intégrabilité ★★★
Soit \(f(x)=\dfrac1{\sqrt x}\) sur \(]0,1]\). Pour quelles valeurs de \(p\in[1,\infty[\) a-t-on \(f\in L^p(]0,1])\) ? Calculer \(\|f\|_1\). La même fonction est-elle dans \(L^2([1,+\infty[)\) ?
8 Inclusion \(L^3\subset L^2\) sur [0,1] ★★★
Soit \(f\in L^3([0,1])\). En appliquant l’inégalité de Hölder à \(|f|^2\) et à la fonction constante 1 avec les exposants \(\tfrac32\) et \(3\), montrer que \(\|f\|_2\le\|f\|_3\). Vérifier avec \(f(x)=x\).
9 Une somme de série par Cauchy–Schwarz ★★★
Dans \(\ell^2\), on considère \(a_n=\dfrac1n\) et \(b_n=\dfrac1{2^n}\) pour \(n\ge1\). Calculer \(\|b\|_2\), admettre \(\|a\|_2=\dfrac\pi{\sqrt6}\) et \(\sum_{n\ge1}\dfrac1{n2^n}=\ln2\), puis vérifier l’inégalité de Cauchy–Schwarz \(\sum a_nb_n\le\|a\|_2\|b\|_2\).
10 Norme d’une forme linéaire sur \(L^2\) ★★★
Sur \(L^2(]0,1[)\), soit \(\varphi(f)=\displaystyle\int_0^1(1-t)f(t)\,dt\). Justifier que \(\varphi\) est continue, calculer \(\|\varphi\|\) et donner une fonction \(f\) de norme 1 pour laquelle \(\varphi(f)=\|\varphi\|\).
11 Meilleure approximation par une constante ★★★
Dans \(L^2(]0,1[)\), déterminer la projection orthogonale de \(f(t)=t^2\) sur le sous-espace des fonctions constantes et la distance de \(f\) à ce sous-espace.
12 Orthonormalisation de Gram–Schmidt ★★★
Dans \(L^2(]-1,1[)\), on part de \(1,t,t^2\). Construire par le procédé de Gram–Schmidt une famille orthonormée \((e_0,e_1,e_2)\).
13 La boule unité de \(\ell^2\) n’est pas compacte ★★★
Soit \(e_n\) la suite de \(\ell^2\) dont tous les termes sont nuls sauf le \(n\)-ième, égal à 1. Calculer \(\|e_n-e_m\|_2\) pour \(n\ne m\). En déduire que la boule unité fermée de \(\ell^2\) n’est pas compacte.
14 Inclusion des espaces de suites ★★★
Soit \(1\le p\le q\lt\infty\) et \(x\in\ell^p\). Montrer que \(\|x\|_q\le\|x\|_p\). Vérifier pour \(x=(3,4,0,0,\dots)\) avec \(p=1\), \(p=2\), \(q=4\).
15 Coefficients de \(t\) dans la base des sinus ★★★
On munit \(L^2(]0,1[)\) de la base hilbertienne \(e_n(t)=\sqrt2\sin(n\pi t)\). Calculer les coefficients de \(f(t)=t\) et en déduire la valeur de \(\sum_{n\ge1}\dfrac1{n^2}\) par l’égalité de Parseval.
16 Une forme linéaire non continue ★★★
Sur \(L^2(]0,1[)\), on voudrait poser \(\varphi(f)=\displaystyle\int_0^1\dfrac{f(t)}{\sqrt t}\,dt\). Pour \(\varepsilon\in]0,1[\), on définit \(f_\varepsilon=t^{-1/2}\mathbf 1_{[\varepsilon,1]}\). Calculer \(\varphi(f_\varepsilon)\) et \(\|f_\varepsilon\|_2\), puis conclure sur la continuité de \(\varphi\). Quel théorème cela illustre-t-il ?
17 Cas d’égalité dans Hölder sur \(\mathbb R^3\) ★★★
Dans \(\mathbb R^3\), soit \(a=(1,4,9)\) et \(\varphi(x)=\sum a_ix_i\). On munit \(\mathbb R^3\) de la norme \(\|\cdot\|_3\) ; l’exposant conjugué de 3 est \(q=\tfrac32\). Calculer \(\|a\|_{3/2}\), puis trouver \(x\) avec \(\|x\|_3=1\) tel que \(\varphi(x)=\|a\|_{3/2}\).
18 Un hyperplan fermé et son orthogonal ★★★
Dans \(L^2(]0,1[)\), soit \(F=\Big\{f:\displaystyle\int_0^1f(t)\,dt=0\Big\}\). Montrer que \(F\) est fermé, déterminer \(F^\perp\), puis la projection de \(f(t)=t^2\) sur \(F\) et sa distance à \(F\).
19 Reste de la décomposition de 1 ★★★
On reprend \(f=1\) dans \(L^2(]0,1[)\) et la base \(e_n=\sqrt2\sin(n\pi t)\), avec \(\langle f,e_n\rangle=\dfrac{2\sqrt2}{n\pi}\) pour \(n\) impair et 0 pour \(n\) pair. Soit \(S\) la projection de \(f\) sur \(\operatorname{Vect}(e_1,e_3)\). Calculer \(\|f-S\|^2\) et donner une valeur approchée.
20 Une inégalité de Cauchy–Schwarz entre \(L^4\) et \(L^2\) ★★★
Montrer que \(\|fg\|_2\le\|f\|_4\|g\|_4\). Vérifier l’inégalité pour \(f(x)=x\) et \(g(x)=1-x\) sur \([0,1]\).
21 \(C([0,1])\) n’est pas complet pour la norme \(L^2\) ★★★
Pour \(n\ge2\), soit \(f_n\) continue sur \([0,1]\), nulle sur \([0,\tfrac12-\tfrac1n]\), égale à \(n(t-\tfrac12)+1\) sur \([\tfrac12-\tfrac1n,\tfrac12]\) et à 1 sur \([\tfrac12,1]\). Soit \(g=\mathbf 1_{[1/2,1]}\). Calculer \(\|f_n-g\|_2\). Montrer que \((f_n)\) est de Cauchy pour \(\|\cdot\|_2\) mais ne converge pas dans \(C([0,1])\).
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