Géométrie dans l'espace : exercices corrigés de maths 2de à télécharger en PDF

1 Vocabulaire du pavé droit ★★★

1. Un pavé droit a \(6\) faces, \(12\) arêtes et \(8\) sommets (on vérifie : \(8 - 12 + 6 = 2\)).
2. Les arêtes parallèles à \([AB]\) sont \([DC]\), \([EF]\) et \([HG]\).
3. La face opposée à \(ABFE\) est la face \(DCGH\).

2 Volume et aire d’un pavé ★★★

Volume : \(V = 8 \times 5 \times 3 = 120\ \text{cm}^3\).

Aire : \(\mathcal{A} = 2(8 \times 5 + 8 \times 3 + 5 \times 3) = 2(40 + 24 + 15) = 2 \times 79 = 158\ \text{cm}^2\).

La boîte a un volume de \(120\ \text{cm}^3\) et une aire totale de \(158\ \text{cm}^2\).

3 Un dé géant ★★★

\(V = 7^3 = 343\ \text{cm}^3 = 0{,}343\ \text{L}\) (car \(1\ \text{L} = 1\,000\ \text{cm}^3\)).

\(\mathcal{A} = 6 \times 7^2 = 6 \times 49 = 294\ \text{cm}^2\).

4 Une boîte de conserve ★★★

\(V = \pi r^2 h = \pi \times 3^2 \times 10 = 90\pi\ \text{cm}^3\).

Avec la calculatrice : \(V \approx 282{,}74\), soit \(283\ \text{cm}^3\) au \(\text{cm}^3\) près.

5 Un aquarium rempli aux trois quarts ★★★

\(V = 80 \times 35 \times 40 = 112\,000\ \text{cm}^3 = 112\ \text{dm}^3 = 112\ \text{L}\).

Aux trois quarts : \(112 \times \dfrac{3}{4} = 84\) L.

L’aquarium contient \(112\) L, et \(84\) L une fois rempli aux trois quarts.

6 Vrai ou faux ? ★★★

1. Vrai : toutes ses faces sont des rectangles (même des carrés).
2. Faux : elles peuvent être non coplanaires, comme \((AB)\) et \((CG)\) dans un cube.
3. Vrai : trois points non alignés déterminent un plan.
4. Vrai : \(4\) arêtes à la base et \(4\) arêtes qui montent vers le sommet.

7 Quel est ce solide ? ★★★

1. Un cylindre de révolution.
2. Un cône de révolution.
3. Une boule (sa surface est une sphère).
4. Un prisme droit à base triangulaire (\(6\) sommets, \(9\) arêtes).

8 Prisme à base triangulaire ★★★

Aire de la base : \(B = \dfrac{3 \times 4}{2} = 6\ \text{cm}^2\). Volume : \(V = 6 \times 10 = 60\ \text{cm}^3\).

Périmètre de la base : \(3 + 4 + 5 = 12\) cm. Aire latérale : \(12 \times 10 = 120\ \text{cm}^2\).

Aire totale : \(120 + 2 \times 6 = 132\ \text{cm}^2\).

9 Une pyramide de verre ★★★

\(B = 6^2 = 36\ \text{cm}^2\). \(V = \dfrac{1}{3} \times 36 \times 7 = 84\ \text{cm}^3\).

10 Un cône de révolution ★★★

La hauteur, le rayon et la génératrice forment un triangle rectangle de côté \(13\) cm pour hypoténuse : \(h^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144\), donc \(h = 12\) cm.

\(V = \dfrac{1}{3}\pi \times 5^2 \times 12 = 100\pi \approx 314{,}16\ \text{cm}^3\).

11 Ballon et sphère ★★★

\(V = \dfrac{4}{3}\pi \times 6^3 = \dfrac{4}{3}\pi \times 216 = 288\pi \approx 904{,}78\ \text{cm}^3\).

\(\mathcal{A} = 4\pi \times 6^2 = 144\pi \approx 452{,}39\ \text{cm}^2\).

12 Une boule dans une boîte cubique ★★★

Volume de la boule : \(\dfrac{4}{3}\pi \times 27 = 36\pi\). Volume du cube : \(6^3 = 216\).

Rapport : \(\dfrac{36\pi}{216} = \dfrac{\pi}{6} \approx 0{,}5236\), soit environ \(52{,}4\ \%\).

13 Section d’un cube par le plan (ACG) ★★★

1. Les points \(E\) et \(G\) sont sur la face supérieure, et \([EG]\) est parallèle et égal à \([AC]\). De plus \([AE]\) est perpendiculaire à la base. La section est donc le rectangle \(ACGE\).
2. \(AC\) est la diagonale d’un carré de côté \(4\) : \(AC = 4\sqrt{2}\) cm. Et \(AE = 4\) cm. L’aire est \(4\sqrt{2} \times 4 = 16\sqrt{2} \approx 22{,}63\ \text{cm}^2\).

14 Positions relatives dans le cube ★★★

1. \((AB)\) et \((HG)\) sont parallèles (arêtes opposées). \((AB)\) et \((CG)\) sont non coplanaires. \((AC)\) et \((BD)\), diagonales de la base, sont sécantes au centre du carré \(ABCD\). \((AE)\) et \((BC)\) sont non coplanaires (pas de point commun, directions différentes).
2. \((EF)\) est parallèle à \((ABCD)\) (car \((EF) // (AB)\)). \((AE)\) est sécante à \((ABCD)\) en \(A\). \((AC)\) est parallèle à \((EFGH)\) car \((AC) // (EG)\) et \((EG)\) est dans \((EFGH)\).
3. \((ABF)\) et \((DCG)\) sont les faces avant et arrière : parallèles. \((ABF)\) et \((ABCD)\) sont sécants suivant la droite \((AB)\).

15 Dessin en perspective cavalière ★★★

1. La face avant est en vraie grandeur : \(6\) cm et \(3\) cm.
2. Une fuyante de \(4\) cm est dessinée avec \(4 \times \dfrac{1}{2} = 2\) cm.
3. Longueur réelle : \(3{,}5 \div \dfrac{1}{2} = 7\) cm.

16 Réduire une pyramide ★★★

1. \(k = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}\). La section est un carré de côté \(9 \times \dfrac{1}{3} = 3\) cm.
2. Grande pyramide : \(V = \dfrac{1}{3} \times 81 \times 12 = 324\ \text{cm}^3\). Petite pyramide : \(V' = \dfrac{1}{3} \times 9 \times 4 = 12\ \text{cm}^3\).
3. \(324 \times k^3 = 324 \times \dfrac{1}{27} = 12\) : le calcul confirme \(V' = k^3 V\). Le tronc a un volume de \(324 - 12 = 312\ \text{cm}^3\).

17 Section d’un cône ★★★

1. La section est un disque. Le rapport de réduction est \(k = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}\), donc son rayon vaut \(6 \times \dfrac{1}{4} = 1{,}5\) cm.
2. \(\mathcal{A} = \pi \times 1{,}5^2 = 2{,}25\pi \approx 7{,}07\ \text{cm}^2\).
3. Petit cône : \(\dfrac{1}{3}\pi \times 2{,}25 \times 2 = 1{,}5\pi\). Grand cône : \(\dfrac{1}{3}\pi \times 36 \times 8 = 96\pi\). Le rapport est \(\dfrac{96\pi}{1{,}5\pi} = 64 = 4^3\) : le grand volume vaut \(64\) fois le petit.

18 Un verre conique à moitié rempli ★★★

1. \(V = \dfrac{1}{3}\pi \times 4^2 \times 12 = 64\pi \approx 201{,}06\ \text{cm}^3\).
2. Le liquide forme un cône réduit de rapport \(k = \dfrac{1}{2}\) : il occupe \(k^3 = \dfrac{1}{8}\) du volume. \(V' = \dfrac{64\pi}{8} = 8\pi \approx 25{,}13\ \text{cm}^3\), soit environ \(25{,}1\) mL.

Le verre est rempli à la moitié de sa hauteur, mais il ne contient que le huitième de sa capacité.

19 Boule et cylindre circonscrit ★★★

1. Boule : \(\dfrac{4}{3}\pi r^3\). Cylindre : \(\pi r^2 \times 2r = 2\pi r^3\).
2. \(\dfrac{\frac{4}{3}\pi r^3}{2\pi r^3} = \dfrac{4}{3} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{3}\) : la boule occupe toujours les deux tiers du cylindre.
3. Pour \(r = 5\) : boule \(\dfrac{500\pi}{3} \approx 523{,}60\ \text{cm}^3\) ; cylindre \(250\pi \approx 785{,}40\ \text{cm}^3\). On retrouve \(\dfrac{523{,}60}{785{,}40} \approx \dfrac{2}{3}\).

20 Une droite parallèle à un plan ★★★

Dans le triangle \(EFH\), \(I\) et \(J\) sont les milieux de \([EF]\) et \([EH]\) : d’après le théorème de la droite des milieux, \((IJ) // (FH)\).

Les arêtes \([BF]\) et \([DH]\) sont parallèles et de même longueur, donc \(BFHD\) est un parallélogramme (c’est même un rectangle) : \((FH) // (BD)\).

Par transitivité, \((IJ) // (BD)\). Or \((BD)\) est contenue dans le plan \((ABCD)\), et \((IJ)\) ne l’est pas (elle est dans le plan \((EFGH)\)). Donc \((IJ)\) est parallèle au plan \((ABCD)\).

21 Intersection de deux plans ★★★

1. Les droites \((AB)\) et \((GH)\) sont parallèles (arêtes opposées d’une face), donc coplanaires : elles déterminent un plan. Ce plan contient \(A\), \(B\) et \(G\), c’est donc le plan \((ABG)\), et il contient \(H\).
2. \(G\) et \(H\) appartiennent à \((ABG)\) et aussi à la face \((DCG)\). Les deux plans sont distincts, donc leur intersection est la droite \((GH)\).
3. Le plan \((ABG)\) coupe les plans parallèles \((ABF)\) et \((DCG)\) suivant \((AB)\) et \((GH)\) : ces deux droites sont donc parallèles, ce que l’on savait déjà.

22 Un silo à grains ★★★

Cylindre : \(\pi \times 2^2 \times 5 = 20\pi\). Demi-boule : \(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{3}\pi \times 2^3 = \dfrac{16\pi}{3}\).

Total : \(20\pi + \dfrac{16\pi}{3} = \dfrac{76\pi}{3} \approx 79{,}59\ \text{m}^3\).