Combinatoire et dénombrement : corrigé du contrôle de maths Terminale à télécharger en PDF

1 Calculs / 3 pts

a) \(\dfrac{7!}{5!} = 7 \times 6 = 42\). (1 pt)

b) \(\binom{12}{2} = \dfrac{12 \times 11}{2} = 66\). (1 pt)

c) Par symétrie, \(\binom{12}{10} = \binom{12}{2} = 66\). (1 pt)

2 Pizzas et codes / 4 pts

a) \(4 \times 6 \times 3 = 72\) pizzas. (1 pt)

b) Avec répétitions : \(7^5 = 16\,807\) codes (1 pt). Sans répétition : \(7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 2\,520\) codes (1 pt).

c) La première lettre est A ; il reste à placer un arrangement de 4 lettres parmi les 6 autres : \(6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360\). (1 pt)

3 Constitution d’une équipe / 4 pts

a) \(\binom{14}{4} = \dfrac{14 \times 13 \times 12 \times 11}{24} = 1\,001\). (1 pt)

b) \(\binom{8}{2} \times \binom{6}{2} = 28 \times 15 = 420\). (1,5 pt)

c) Le contraire est « aucune fille » : 4 garçons parmi 6, \(\binom{6}{4} = 15\). Donc \(1\,001 - 15 = 986\) équipes. (1,5 pt)

4 Formule du binôme / 3 pts

a) \((x+3)^4 = x^4 + 4 \times 3\,x^3 + 6 \times 9\,x^2 + 4 \times 27\,x + 81 = x^4 + 12x^3 + 54x^2 + 108x + 81\). (2 pts)

b) Terme général \(\binom{6}{k}(2x)^{k}\) : pour \(x^3\), \(k = 3\), soit \(\binom{6}{3} \times 2^3 = 20 \times 8 = 160\). (1 pt)

5 Triangle de Pascal / 3 pts

a) Chaque terme est la somme des deux termes situés au-dessus : \(1,\ 1+7,\ 7+21,\ 21+35,\ 35+35,\ 35+21,\ 21+7,\ 7+1,\ 1\), soit \(1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1\). (2 pts)

b) \(1 + 8 + 28 + 56 + 70 + 56 + 28 + 8 + 1 = 256 = 2^8\). (1 pt)

6 Parties d’un ensemble / 3 pts

a) \(2^7 = 128\). (1 pt)

b) \(\binom{7}{3} = 35\). (1 pt)

c) Pour les 6 autres éléments, on choisit d’être dans la partie ou non : \(2^6 = 64\). (1 pt)