Corrigés rédigés des exercices du chapitre. Vérifie chaque étape, puis corrige-toi.
1 Simplifier des puissances de e ★★★
On applique \(e^{a}e^{b} = e^{a+b}\), \(\dfrac{e^{a}}{e^{b}} = e^{a-b}\) et \((e^{a})^{n} = e^{na}\).
- \(e^{3+5} = e^{8}\)
- \(e^{7-2} = e^{5}\)
- \(e^{2\times 4} = e^{8}\)
- \(e^{-3+3} = e^{0} = 1\)
- \(e^{(x+1)+(2x-1)} = e^{3x}\)
2 Vrai ou faux ? ★★★
- Vrai. L’exponentielle est strictement positive sur \(\mathbb{R}\).
- Faux. \(e^{2} = e^{1+1} = e \times e = e^{2}\), c’est un produit et non une somme ; numériquement \(e^{2} \approx 7{,}39\) alors que \(2e \approx 5{,}44\).
- Faux. Avec \(a = b = 0\) : \(e^{0} = 1\) mais \(e^{0}+e^{0} = 2\). La bonne relation est \(e^{a+b} = e^{a}e^{b}\).
- Vrai. C’est la propriété \(\exp(-x) = \dfrac{1}{\exp(x)}\).
3 Changer d’écriture ★★★
- \(\dfrac{1}{e^{4}} = e^{-4}\)
- \(\dfrac{e^{3}}{e^{5}} = e^{3-5} = e^{-2}\)
- \((e^{-1})^{3} = e^{-3}\)
- \(e = e^{1}\), donc \(e \times e^{x} = e^{x+1}\)
4 Premières dérivées ★★★
On utilise \((e^{ax+b})' = a\,e^{ax+b}\).
- \(f'(x) = 3e^{3x}\)
- \(g'(x) = -2e^{-2x+1}\)
- \(h(x) = 5e^{\frac{1}{2}x}\), donc \(h'(x) = 5 \times \dfrac{1}{2}\,e^{x/2} = \dfrac{5}{2}\,e^{x/2}\)
- \(k'(x) = e^{x} + 2x\)
5 Signe d’une expression ★★★
On rappelle que \(e^{u} > 0\) quel que soit \(u\).
- \(e^{2x-3} > 0\) pour tout réel \(x\).
- \(-4 < 0\) et \(e^{x} > 0\), donc \(-4e^{x} < 0\) pour tout \(x\).
- Comme \(e^{x} > 0\), le signe est celui de \(x-2\) : \((x-2)e^{x} \geq 0 \iff x \geq 2\). Ensemble des solutions : \([2\,;\,+\infty[\).
- Numérateur et dénominateur sont strictement positifs, donc le quotient est strictement positif.
6 Comparer sans calculatrice ★★★
La fonction exponentielle est strictement croissante, et \(e^{0} = 1\).
- \(3 < 5\) donc \(e^{3} < e^{5}\).
- \(-1 > -2\) donc \(e^{-1} > e^{-2}\).
- \(0{,}5 > 0\) donc \(e^{0{,}5} > e^{0} = 1\).
- \(-3 < 0\) donc \(e^{-3} < e^{0} = 1\).
7 Une culture de levure ★★★
- \(N(0) = 200\,e^{0} = 200\) milliers de cellules.
- \(N(2) = 200\,e^{0{,}6} \approx 200 \times 1{,}822 \approx 364\) milliers de cellules.
- \(N'(t) = 200 \times 0{,}3\,e^{0{,}3t} = 60\,e^{0{,}3t} > 0\) : la fonction \(N\) est strictement croissante, donc la culture augmente.
8 Équations et inéquations ★★★
L’exponentielle est strictement croissante : \(e^{a} = e^{b} \iff a = b\) et \(e^{a} \leq e^{b} \iff a \leq b\).
- \(2x - 1 = x + 3 \iff x = 4\).
- \(3x \leq x + 4 \iff 2x \leq 4 \iff x \leq 2\). Solutions : \(]-\infty\,;\,2]\).
- \(x^{2} = 4x - 3 \iff x^{2} - 4x + 3 = 0\). Le discriminant vaut \(16 - 12 = 4\), d’où \(x = \dfrac{4-2}{2} = 1\) ou \(x = \dfrac{4+2}{2} = 3\).
- \(e^{5x-2} > e^{0} \iff 5x - 2 > 0 \iff x > \dfrac{2}{5}\).
9 Un produit avec exponentielle ★★★
- Avec \(u = 2x+1\) et \(v = e^{x}\) : \(f'(x) = 2e^{x} + (2x+1)e^{x} = (2x+3)\,e^{x}\).
- Comme \(e^{x} > 0\), \(f'(x)\) a le signe de \(2x+3\). Or \(2x + 3 > 0 \iff x > -\dfrac{3}{2}\). Donc \(f\) est décroissante sur \(\left]-\infty\,;\,-\dfrac{3}{2}\right]\) et croissante sur \(\left[-\dfrac{3}{2}\,;\,+\infty\right[\).
- Le minimum est \(f\left(-\dfrac{3}{2}\right) = (-3+1)\,e^{-1{,}5} = -2\,e^{-1{,}5} \approx -0{,}45\).
10 Une fonction qui s’annule en 4 ★★★
- \(u = x - 3\), \(v = e^{-x}\), \(v' = -e^{-x}\). Donc \(g'(x) = e^{-x} - (x-3)\,e^{-x} = (1 - x + 3)\,e^{-x} = (4-x)\,e^{-x}\).
- Comme \(e^{-x} > 0\), le signe de \(g'\) est celui de \(4 - x\). Ainsi \(g\) est croissante sur \(]-\infty\,;\,4]\) et décroissante sur \([4\,;\,+\infty[\).
- \(g(4) = (4-3)\,e^{-4} = e^{-4} \approx 0{,}018\). C’est un maximum, car \(g\) croît puis décroît.
11 Un quotient ★★★
- Pour tout \(x\), \(e^{x} + 1 > 1 > 0\), donc le dénominateur ne s’annule jamais.
- Avec \(u = e^{x}\), \(v = e^{x}+1\), \(u' = v' = e^{x}\) : \(h' = \dfrac{u'v - uv'}{v^{2}} = \dfrac{e^{x}(e^{x}+1) - e^{x}\,e^{x}}{(e^{x}+1)^{2}} = \dfrac{e^{x}}{(e^{x}+1)^{2}}\).
- \(h'(x) > 0\) pour tout \(x\), donc \(h\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). Enfin \(h(0) = \dfrac{1}{1+1} = \dfrac{1}{2}\).
12 Une identité remarquable ★★★
- Avec \(a^{2} - b^{2}\) où \(a = e^{x}+e^{-x}\) et \(b = e^{x}-e^{-x}\) : \((a-b)(a+b) = (2e^{-x})(2e^{x}) = 4\,e^{-x+x} = 4\,e^{0} = 4\).
- On multiplie numérateur et dénominateur par \(e^{-x} \neq 0\) : \(\dfrac{(e^{x}-1)\,e^{-x}}{(e^{x}+1)\,e^{-x}} = \dfrac{1 - e^{-x}}{1 + e^{-x}}\).
13 Tangentes à la courbe de e^{2x} ★★★
On a \(f'(x) = 2e^{2x}\).
- \(f(0) = 1\) et \(f'(0) = 2\). Donc \(T_0 : y = 2(x-0) + 1 = 2x + 1\).
- \(f\left(\dfrac{1}{2}\right) = e^{1} = e\) et \(f'\left(\dfrac{1}{2}\right) = 2e\). Donc \(y = 2e\left(x - \dfrac{1}{2}\right) + e = 2e\,x - e + e = 2e\,x\). Pour \(x = 0\) on trouve \(y = 0\) : la tangente passe par l’origine.
14 Un café qui refroidit ★★★
- \(T(0) = 20 + 60 = 80\) °C. \(T(10) = 20 + 60\,e^{-1} \approx 20 + 22{,}07 \approx 42{,}1\) °C.
- \(T'(t) = 60 \times (-0{,}1)\,e^{-0{,}1t} = -6\,e^{-0{,}1t} < 0\). La fonction \(T\) est strictement décroissante : le café refroidit.
- \(T'(0) = -6\) : à \(t = 0\), la température baisse de \(6\) °C par minute.
15 Unicité de la fonction exponentielle ★★★
- \(e^{x} \neq 0\) pour tout \(x\) et \(g\), \(\exp\) sont dérivables : le quotient \(q\) est défini et dérivable sur \(\mathbb{R}\).
- \(q'(x) = \dfrac{g'(x)\,e^{x} - g(x)\,e^{x}}{(e^{x})^{2}} = \dfrac{g(x)\,e^{x} - g(x)\,e^{x}}{(e^{x})^{2}} = 0\).
- \(q\) est constante sur \(\mathbb{R}\), égale à \(q(0) = \dfrac{g(0)}{e^{0}} = 1\). Donc \(g(x) = e^{x}\) pour tout \(x\) : la fonction exponentielle est la seule solution.
16 Étude complète d’une fonction ★★★
- \(f'(x) = (2x+1)\,e^{x} + (x^{2}+x-1)\,e^{x} = (x^{2}+3x)\,e^{x} = x(x+3)\,e^{x}\).
- Le signe de \(f'\) est celui de \(x(x+3)\), positif pour \(x < -3\) ou \(x > 0\), négatif entre \(-3\) et \(0\). Donc \(f\) croît sur \(]-\infty\,;\,-3]\), décroît sur \([-3\,;\,0]\), croît sur \([0\,;\,+\infty[\). Extremums : \(f(-3) = (9-3-1)\,e^{-3} = 5e^{-3} \approx 0{,}25\) et \(f(0) = -1\).
- \(f(0) = -1\) et \(f'(0) = 0\) : la tangente est horizontale, d’équation \(y = -1\).
- \(e^{x} > 0\), donc \(f(x) = 0 \iff x^{2} + x - 1 = 0\). Le discriminant vaut \(1 + 4 = 5 > 0\) : deux solutions \(x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}\), soit environ \(-1{,}62\) et \(0{,}62\).
17 Une inégalité fondamentale ★★★
- \(h'(x) = e^{x} - 1\). On a \(e^{x} - 1 \geq 0 \iff e^{x} \geq e^{0} \iff x \geq 0\).
- \(h\) décroît sur \(]-\infty\,;\,0]\) et croît sur \([0\,;\,+\infty[\). Son minimum est \(h(0) = 1 - 0 - 1 = 0\).
- Pour tout \(x\), \(h(x) \geq 0\), soit \(e^{x} \geq x + 1\). Comme \(x + 1 > x\), on obtient \(e^{x} > x\).
- La courbe de l’exponentielle est au-dessus de sa tangente \(y = x+1\) en \(A(0\,;\,1)\), et touche cette tangente en un seul point, \(A\).
18 Une suite de désintégration ★★★
- \(u_{n+1} = 5\,e^{-0{,}2(n+1)} = 5\,e^{-0{,}2n}\,e^{-0{,}2} = e^{-0{,}2}\,u_n\). La suite est géométrique de raison \(q = e^{-0{,}2} \approx 0{,}819\) et de premier terme \(u_0 = 5\).
- \(0 < q < 1\) et \(u_0 > 0\) : la suite est strictement décroissante.
- \(u_{10} = 5\,e^{-2} \approx 0{,}677\) g.
- \(S = u_0\,\dfrac{1 - q^{10}}{1 - q} = 5\,\dfrac{1 - e^{-2}}{1 - e^{-0{,}2}} \approx 5 \times \dfrac{0{,}8647}{0{,}1813} \approx 23{,}85\) g.
19 Une suite de puissances de e ★★★
- \(w_{n+1} = e^{2n+3} = e^{2n+1} \times e^{2} = e^{2}\,w_n\). La suite est géométrique de raison \(e^{2}\) (environ \(7{,}39\)) et de premier terme \(w_0 = e\).
- \(w_5 = e^{2\times 5+1} = e^{11}\).
- \(w_2 = e^{5} \approx 148{,}4\) et \(w_3 = e^{7} \approx 1\,096{,}6\). La suite est strictement croissante, donc \(w_n > 1\,000\) à partir de \(n = 3\).
20 Deux modèles de placement ★★★
- \(A(10) = 1\,000 \times 1{,}04^{10} \approx 1\,480{,}24\) €. \(B(10) = 1\,000\,e^{0{,}4} \approx 1\,491{,}82\) €.
- \(B(n+1) = 1\,000\,e^{0{,}04n}\,e^{0{,}04} = e^{0{,}04}\,B(n)\) : suite géométrique de raison \(e^{0{,}04} \approx 1{,}0408\) et de premier terme \(1\,000\).
- Les raisons sont \(1{,}04\) et \(e^{0{,}04}\). Comme \(e^{x} \geq x + 1\) (avec égalité seulement en \(x = 0\)), \(e^{0{,}04} > 1{,}04\) : la banque B est plus avantageuse. Après \(10\) ans, l’écart est d’environ \(11{,}58\) €.
