Corrigé du contrôle avec le barème détaillé. Compte tes points et repère ce qu’il faut revoir.
1 Calculs et équations / 4 pts
- Exposant : \((2x+1) + (-x+4) - (x+2) = 3\), donc \(A = e^{3}\). (1 pt)
- \((e^{x}+1)^{2} = e^{2x} + 2e^{x} + 1\), d’où l’expression \(= 2e^{x}\). (1 pt)
- \(e = e^{1}\), donc \(3x - 2 = 1\), soit \(x = 1\). (1 pt)
- Par croissance : \(x^{2} < x + 6 \iff x^{2} - x - 6 < 0\). Les racines de \(x^{2}-x-6\) sont \(-2\) et \(3\), donc \(S = ]-2\,;\,3[\). (1 pt)
2 Dérivées / 4 pts
- \(f'(x) = 3 \times (-2)\,e^{-2x+1} = -6\,e^{-2x+1}\). (1 pt)
- \(g'(x) = e^{x} + (x-2)\,e^{x} = (x-1)\,e^{x}\). (1 pt)
- \(h'(x) = 2e^{2x} + 2x\). (1 pt)
- \(k'(x) = \dfrac{e^{x}(e^{x}+2) - e^{x}\,e^{x}}{(e^{x}+2)^{2}} = \dfrac{2e^{x}}{(e^{x}+2)^{2}}\). (1 pt)
3 Étude d’une fonction / 6 pts
- \(f'(x) = -e^{x} + (2-x)\,e^{x} = (1-x)\,e^{x}\). (2 pts)
- \(e^{x} > 0\), donc \(f'(x)\) a le signe de \(1 - x\) : positif si \(x < 1\), négatif si \(x > 1\). Donc \(f\) est croissante sur \(]-\infty\,;\,1]\) et décroissante sur \([1\,;\,+\infty[\). (2 pts)
- Le maximum est \(f(1) = (2-1)\,e^{1} = e\). (1 pt)
- \(f(0) = 2\) et \(f'(0) = 1\) : \(y = 1\times(x - 0) + 2 = x + 2\). (1 pt)
4 Une suite géométrique / 3 pts
- \(u_{n+1} = 4\,e^{-0{,}5n}\,e^{-0{,}5} = e^{-0{,}5}\,u_n\) : raison \(e^{-0{,}5}\) (environ \(0{,}607\)), premier terme \(u_0 = 4\). (1 pt)
- \(0 < e^{-0{,}5} < 1\) et \(u_0 > 0\) : la suite est strictement décroissante. (1 pt)
- \(u_4 = 4\,e^{-2} \approx 0{,}541\). (1 pt)
5 Un médicament dans le sang / 3 pts
- \(C(0) = 8\) mg/L. \(C(4) = 8\,e^{-1} \approx 2{,}94\) mg/L. (1 pt)
- \(C'(t) = 8 \times (-0{,}25)\,e^{-0{,}25t} = -2\,e^{-0{,}25t} < 0\) : \(C\) est strictement décroissante. (1 pt)
- \(C'(0) = -2\) : la concentration diminue de \(2\) mg/L par heure à l’instant initial. (1 pt)
