Logique et ensembles : contrôle de maths Licence L1 à télécharger en PDF

1 Logique : négations et contraposée / 4 pts

Calculatrice interdite.

1. Nier la proposition « \(\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 + x + 1 > 0 \) ».
2. Nier « \(\exists n \in \mathbb{N}^*,\ n(n+1) = 30\) » et dire si cette dernière est vraie.
3. Écrire la contraposée de « si \(x > 2\) alors \(x^2 > 4\) ».
4. Écrire la réciproque de l’implication de la question c) et dire si elle est vraie.

2 Ensembles et dénombrement / 3 pts

Dans \(E = \{1, 2, \ldots, 12\}\), soit \(A\) l’ensemble des multiples de \(4\) et \(B\) l’ensemble des diviseurs de \(12\).

1. Écrire \(A\) et \(B\) en extension.
2. Déterminer \(A \cap B\), \(A \cup B\), \(A \setminus B\) et \(\overline{A}\).
3. Donner \(|A \times B|\) et le nombre de parties de \(A\).

3 Une somme par récurrence / 3 pts

Démontrer que, pour tout \(n \geqslant 1\), \(1 \times 2 + 2 \times 3 + \cdots + n(n+1) = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}\).

4 Contraposée et divisibilité par 8 / 4 pts

Démontrer que, pour tout entier \(n\) : si \(n^2 - 1\) n’est pas divisible par \(8\), alors \(n\) est pair.

5 Une relation d’équivalence sur les réels / 3 pts

Sur \(\mathbb{R}\), on pose \(x \sim y\) si \(x - y \in \mathbb{Z}\).

1. Montrer que \(\sim\) est une relation d’équivalence.
2. Les réels \(2{,}8\) et \(-0{,}2\) sont-ils en relation ? Même question pour \(\sqrt{2}\) et \(1{,}4142\).

6 Un ordre sur les diviseurs de 20 / 3 pts

On ordonne \(D = \{1, 2, 4, 5, 10, 20\}\), ensemble des diviseurs de \(20\), par la divisibilité.

1. Donner le plus petit et le plus grand élément de \(D\).
2. Citer deux éléments non comparables. L’ordre est-il total ?
3. Quels sont les éléments maximaux de \(D \setminus \{20\}\) ?