Logique et ensembles : corrigé du contrôle de maths Licence L1 à télécharger en PDF

1 Logique : négations et contraposée / 4 pts

1. \(\exists x \in \mathbb{R},\ x^2 + x + 1 \leqslant 0\). (1 pt)
2. Négation : \(\forall n \in \mathbb{N}^*,\ n(n+1) \neq 30\). La proposition est vraie car \(5 \times 6 = 30\) : \(n = 5\) convient. (1 pt)
3. Contraposée : « si \(x^2 \leqslant 4\) alors \(x \leqslant 2\) ». (1 pt)
4. Réciproque : « si \(x^2 > 4\) alors \(x > 2\) », fausse : \(x = -3\) donne \(x^2 = 9 > 4\) mais \(-3 < 2\). (1 pt)

2 Ensembles et dénombrement / 3 pts

1. \(A = \{4, 8, 12\}\) et \(B = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}\). (1 pt)
2. \(A \cap B = \{4, 12\}\) ; \(A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12\}\) ; \(A \setminus B = \{8\}\) ; \(\overline{A} = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11\}\) (9 éléments). (1 pt)
3. \(|A \times B| = 3 \times 6 = 18\) et \(A\) possède \(2^3 = 8\) parties. (1 pt)

3 Une somme par récurrence / 3 pts

Initialisation. Pour \(n = 1\) : \(1 \times 2 = 2\) et \(\dfrac{1 \times 2 \times 3}{3} = 2\). (1 pt)

Hérédité. Si la formule est vraie au rang \(n\), alors la somme au rang \(n + 1\) vaut \(\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3} + (n+1)(n+2) = (n+1)(n+2)\left(\dfrac{n}{3} + 1\right) = \dfrac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}\). (1,5 pt)

Conclusion. La formule est vraie pour tout \(n \geqslant 1\). (0,5 pt)

4 Contraposée et divisibilité par 8 / 4 pts

La contraposée est : « si \(n\) est impair, alors \(8\) divise \(n^2 - 1\) ». (1 pt)

Soit \(n = 2k + 1\). Alors \(n^2 - 1 = 4k^2 + 4k = 4k(k + 1)\). (1 pt)

Le produit \(k(k+1)\) de deux entiers consécutifs est pair : \(k(k+1) = 2m\). (1 pt)

Donc \(n^2 - 1 = 8m\) est divisible par \(8\). La contraposée est démontrée, donc l’implication initiale aussi. (1 pt)

5 Une relation d’équivalence sur les réels / 3 pts

1. Réflexive : \(x - x = 0 \in \mathbb{Z}\). Symétrique : si \(x - y \in \mathbb{Z}\), alors \(y - x = -(x - y) \in \mathbb{Z}\). Transitive : \(x - z = (x - y) + (y - z)\) est une somme d’entiers relatifs. (2 pts)
2. \(2{,}8 - (-0{,}2) = 3 \in \mathbb{Z}\) : oui. Pour \(\sqrt{2}\) et \(1{,}4142\), la différence est irrationnelle, donc pas entière : non. (1 pt)

6 Un ordre sur les diviseurs de 20 / 3 pts

1. Plus petit élément : \(1\) ; plus grand : \(20\). (1 pt)
2. \(4\) et \(5\) ne sont pas comparables (\(4 \nmid 5\) et \(5 \nmid 4\)) ; l’ordre n’est donc pas total. (1 pt)
3. Dans \(\{1, 2, 4, 5, 10\}\), les éléments maximaux sont \(4\) et \(10\) : \(1\) et \(2\) divisent \(4\), \(5\) divise \(10\), et ni \(4\) ni \(10\) ne divise un autre élément. (1 pt)