Équations différentielles linéaires : exercices corrigés de maths Licence L1 à télécharger en PDF

1 Une équation homogène ★★★

Ici \(a=-5\) et \(A(x)=-5x\). Les solutions sont \(y(x)=C\,e^{5x}\), \(C\in\mathbb{R}\).

Vérification : \(y'=5Ce^{5x}=5y\), donc \(y'-5y=0\).

2 Une condition initiale ★★★

La solution générale est \(y(x)=Ce^{-3x}\). La condition \(y(0)=C=4\) donne \(y(x)=4e^{-3x}\).

Alors \(y(1)=4e^{-3}\approx0{,}199\).

3 Vrai ou faux ? ★★★

1. Vrai : \(y'=2e^{2x}\), donc \(y'-2y=0\).
2. Faux : si \(y_1'+y_1=1\) et \(y_2'+y_2=1\), la somme vérifie \((y_1+y_2)'+(y_1+y_2)=2\). L’ensemble des solutions d’une équation avec second membre non nul n’est pas stable par somme.
3. Vrai : \(y'=0\) et \(2\times3=6\), donc \(0+6=6\).

4 Solution constante ★★★

Pour \(y=c\), \(y'=0\) donc \(4c=12\) et \(c=3\) est une solution particulière.

L’équation homogène \(y'+4y=0\) a pour solutions \(Ce^{-4x}\). Donc \(y(x)=3+Ce^{-4x}\), \(C\in\mathbb{R}\).

5 Équation caractéristique ★★★

L’équation caractéristique \(r^2-5r+6=0\) a pour discriminant \(\Delta=25-24=1>0\) et pour racines \(r_1=2\), \(r_2=3\).

Les solutions sont \(y(x)=\lambda e^{2x}+\mu e^{3x}\), \((\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2\).

6 Oscillateur ★★★

L’équation caractéristique \(r^2+16=0\) a pour racines \(\pm4i\) (\(\alpha=0\), \(\beta=4\)).

Les solutions réelles sont \(y(x)=\lambda\cos4x+\mu\sin4x\).

7 Le thé qui refroidit ★★★

1. Solution constante : \(0{,}1c=2\), \(c=20\). Homogène : \(Ce^{-0{,}1t}\). Donc \(T(t)=20+Ce^{-0{,}1t}\) ; \(T(0)=20+C=90\) donne \(C=70\) et \(T(t)=20+70e^{-0{,}1t}\).
2. \(T(10)=20+70e^{-1}\approx45{,}75\) °C.
3. \(20+70e^{-0{,}1t}=30\iff e^{-0{,}1t}=\dfrac17\iff t=10\ln7\approx19{,}46\) minutes.

Courbe (la température tend vers la température ambiante de \(20\) °C) :

8 Un coefficient non constant ★★★

Homogène : \(A(x)=x^2\), \(y_h=Ce^{-x^2}\).

Solution particulière : la constante \(y=\dfrac12\) convient, car \(y'=0\) et \(2x\cdot\dfrac12=x\).

Donc \(y(x)=\dfrac12+Ce^{-x^2}\), \(C\in\mathbb{R}\).

9 Variation de la constante ★★★

Homogène : \(y_h=Ce^{x}\). On pose \(y=C(x)e^{x}\) : \(C'(x)e^{x}=e^{2x}\), donc \(C'(x)=e^{x}\) et \(C(x)=e^{x}+K\).

Ainsi \(y(x)=e^{2x}+Ke^{x}\).

Vérification : \(y'-y=2e^{2x}+Ke^{x}-e^{2x}-Ke^{x}=e^{2x}\).

10 Sur un intervalle précis ★★★

On divise par \(x\) : \(y'-\dfrac{2}{x}y=x^2\). Une primitive de \(-\dfrac2x\) est \(-2\ln x\), donc \(y_h=Cx^2\).

On pose \(y=C(x)x^2\) : \(C'(x)x^2=x^2\), donc \(C'(x)=1\), \(C(x)=x+K\) et \(y(x)=x^3+Kx^2\).

La condition \(y(1)=1+K=3\) donne \(K=2\) : \(y(x)=x^3+2x^2\).

11 Problème de Cauchy d’ordre 2 (1) ★★★

\(r^2-2r-3=(r-3)(r+1)\) : racines \(3\) et \(-1\). Donc \(y=\lambda e^{3x}+\mu e^{-x}\).

Conditions : \(\lambda+\mu=2\) et \(3\lambda-\mu=-2\). En additionnant, \(4\lambda=0\), donc \(\lambda=0\) et \(\mu=2\).

Conclusion : \(y(x)=2e^{-x}\).

12 Problème de Cauchy d’ordre 2 (2) ★★★

Racine double \(r=-3\) (\(\Delta=36-36=0\)) : \(y=(\lambda+\mu x)e^{-3x}\).

\(y(0)=\lambda=1\). Puis \(y'(x)=(\mu-3\lambda-3\mu x)e^{-3x}\), donc \(y'(0)=\mu-3=1\) et \(\mu=4\).

Conclusion : \(y(x)=(1+4x)e^{-3x}\).

13 Second membre polynomial ★★★

Homogène : \(r^2-4=0\), racines \(\pm2\), \(y_h=\lambda e^{2x}+\mu e^{-2x}\).

Particulière : \(0\) n’est pas racine, on cherche \(y_p=\alpha x+\beta\) ; \(y_p''=0\) donc \(-4\alpha x-4\beta=8x\), d’où \(\alpha=-2\), \(\beta=0\) et \(y_p=-2x\).

Conclusion : \(y(x)=\lambda e^{2x}+\mu e^{-2x}-2x\).

14 Charge d’un condensateur ★★★

1. On écrit \(u'+5u=60\). Solution constante : \(5c=60\), \(c=12\). Donc \(u(t)=12+Ke^{-5t}\) et \(u(0)=12+K=0\) donne \(K=-12\) : \(u(t)=12\left(1-e^{-5t}\right)\).
2. \(12(1-e^{-5t})=9\iff e^{-5t}=\dfrac14\iff t=\dfrac{\ln4}{5}\approx0{,}277\) s.

15 Second membre trigonométrique d’ordre 1 ★★★

Pour \(y'+2y=e^{ix}\), on cherche \(y_c=\gamma e^{ix}\) : \((i+2)\gamma=1\), donc \(\gamma=\dfrac{2-i}{5}\). Alors \(y_c=\dfrac{(2-i)(\cos x+i\sin x)}{5}\) et sa partie imaginaire est \(y_p=\dfrac{2\sin x-\cos x}{5}\).

Vérification : \(y_p'=\dfrac{2\cos x+\sin x}{5}\) et \(2y_p=\dfrac{4\sin x-2\cos x}{5}\), la somme vaut \(\sin x\).

Solutions : \(y=\dfrac{2\sin x-\cos x}{5}+Ke^{-2x}\). Condition : \(-\dfrac15+K=1\), \(K=\dfrac65\).

Conclusion : \(y(x)=\dfrac{2\sin x-\cos x+6e^{-2x}}{5}\).

16 Une équation qui se factorise ★★★

Le premier membre est la dérivée de \((1+x^2)\,y\) : \(\big((1+x^2)y\big)'=(1+x^2)y'+2xy\).

Donc \(\big((1+x^2)y\big)'=3x^2\), d’où \((1+x^2)y=x^3+K\) et \(y(x)=\dfrac{x^3+K}{1+x^2}\) (définie sur \(\mathbb{R}\) car \(1+x^2>0\)).

\(y(0)=K=2\) : \(y(x)=\dfrac{x^3+2}{1+x^2}\).

17 Résonance d’ordre 2 ★★★

Homogène : racine double \(2\), \(y_h=(\lambda+\mu x)e^{2x}\).

Le second membre \(e^{2x}\) correspond à \(m=2\), racine double : on cherche \(y_p=c\,x^2e^{2x}\). Alors \(y_p'=c(2x+2x^2)e^{2x}\) et \(y_p''=c(2+8x+4x^2)e^{2x}\), donc \(y_p''-4y_p'+4y_p=2c\,e^{2x}\). On obtient \(c=\dfrac12\).

Conclusion : \(y(x)=\left(\lambda+\mu x+\dfrac{x^2}{2}\right)e^{2x}\).

18 Résonance avec condition initiale ★★★

Homogène : \(\lambda\cos2x+\mu\sin2x\). Le second membre est résonant (\(2i\) racine de \(r^2+4\)). On teste \(y_p=-\dfrac{x\cos2x}{4}\) : \(y_p'=-\dfrac{\cos2x}{4}+\dfrac{x\sin2x}{2}\), \(y_p''=\sin2x+x\cos2x\), donc \(y_p''+4y_p=\sin2x\).

Solution générale : \(y=\lambda\cos2x+\mu\sin2x-\dfrac{x\cos2x}{4}\). \(y(0)=\lambda=0\) ; \(y'(0)=2\mu-\dfrac14=1\), donc \(\mu=\dfrac58\).

Conclusion : \(y(x)=\dfrac58\sin2x-\dfrac{x}{4}\cos2x\).

19 Solutions complexes d’ordre 2 ★★★

\(\Delta=4-20=-16\), racines \(1\pm2i\) : \(y=e^{x}(\lambda\cos2x+\mu\sin2x)\).

\(y(0)=\lambda=2\). \(y'=e^{x}\big[(\lambda+2\mu)\cos2x+(\mu-2\lambda)\sin2x\big]\), donc \(y'(0)=\lambda+2\mu=5\) et \(\mu=\dfrac32\).

Conclusion : \(y(x)=e^{x}\left(2\cos2x+\dfrac32\sin2x\right)\), donc \(\kappa=\dfrac32\).

20 Ressort amorti ★★★

1. \(\Delta=16-52=-36\), racines \(-2\pm3i\) : \(x=e^{-2t}(\lambda\cos3t+\mu\sin3t)\). \(x(0)=\lambda=0{,}1\). \(x'(0)=-2\lambda+3\mu=0\) donc \(\mu=\dfrac{1}{15}\). Ainsi \(x(t)=e^{-2t}\left(0{,}1\cos3t+\dfrac{1}{15}\sin3t\right)\).
2. La pulsation est \(3\), donc \(T=\dfrac{2\pi}{3}\approx2{,}09\) s.
3. Le facteur \(e^{-2t}\) devient \(e^{-2T}=e^{-4\pi/3}\approx0{,}0152\) : l’amplitude est divisée par environ \(66\) à chaque pseudo-période.

21 Unicité du problème de Cauchy ★★★

1. \(z'+az=(y_1'+ay_1)-(y_2'+ay_2)=b-b=0\).
2. Donc \(z(x)=Ce^{-A(x)}\). Comme \(z(x_0)=0\) et \(e^{-A(x_0)}\neq0\), on a \(C=0\), donc \(z=0\) sur \(I\) et \(y_1=y_2\).