Suites numériques : exercices corrigés de maths 1ère à télécharger en PDF

1 Calculer des termes explicites ★★★

On remplace \(n\) par la valeur voulue :

\(u_0 = 4 \times 0 - 7 = -7\) ; \(u_1 = 4 - 7 = -3\) ; \(u_5 = 20 - 7 = 13\) ; \(u_{20} = 80 - 7 = 73\).

2 Tableau de valeurs ★★★

\(v_0 = 0\) ; \(v_1 = 1 + 3 = 4\) ; \(v_2 = 4 + 6 = 10\) ; \(v_3 = 9 + 9 = 18\) ; \(v_4 = 16 + 12 = 28\).

\(v_{10} = 100 + 30 = 130\).

3 Une récurrence simple ★★★

\(w_1 = 2 \times 6 - 5 = 7\) ; \(w_2 = 2 \times 7 - 5 = 9\) ; \(w_3 = 2 \times 9 - 5 = 13\) ; \(w_4 = 2 \times 13 - 5 = 21\).

4 Vrai ou faux : la notation indicée ★★★

1. Vrai : \(u_{n+1} = 2(n+1) + 1 = 2n + 3\).
2. Faux : \(u_n + 1 = 2n + 2\) alors que \(u_{n+1} = 2n + 3\). En fait \(u_{n+1} = u_n + 2\).
3. Vrai : \(u_{2n} = 2 \times 2n + 1 = 4n + 1\).
4. Vrai : on ajoute simplement \(1\) à \(2n + 1\).

5 Nuage de points ★★★

1. \(u_0 = 6\), \(u_3 = 3\), \(u_6 = 0\).
2. \(u_{n+1} - u_n = 6 - (n+1) - (6 - n) = -1 < 0\) pour tout \(n\) : la suite est strictement décroissante, ce que montrent les points qui descendent.

6 Un bassin qui se remplit ★★★

1. Chaque minute ajoute \(12\) litres : \(a_n = 80 + 12n\).
2. On résout \(80 + 12n \geq 500\), soit \(12n \geq 420\), donc \(n \geq 35\). Vérification : \(a_{35} = 80 + 420 = 500\). Le bassin contient au moins \(500\) litres au bout de \(35\) minutes.

7 Un nombre est-il un terme ? ★★★

\(3n + 2 = 101\) donne \(3n = 99\), donc \(n = 33\), qui est un entier : \(101 = u_{33}\) est un terme.

\(3n + 2 = 150\) donne \(3n = 148\), soit \(n = \dfrac{148}{3}\), qui n’est pas un entier : \(150\) n’est pas un terme de la suite.

8 Variations d’une suite du second degré ★★★

1. \(u_0 = 3\) ; \(u_1 = -4\) ; \(u_2 = -9\) ; \(u_3 = -12\) ; \(u_4 = -13\) ; \(u_5 = -12\).
2. \(u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 - 8(n+1) + 3 - n^2 + 8n - 3 = 2n + 1 - 8 = 2n - 7\).
3. \(2n - 7 < 0\) pour \(n \leq 3\) et \(2n - 7 > 0\) pour \(n \geq 4\). La suite décroît jusqu’au rang \(4\) puis croît. Son minimum est \(u_4 = -13\).

9 Une récurrence qui cache une formule ★★★

1. \(u_1 = 1 + 1 = 2\) ; \(u_2 = 2 + 3 = 5\) ; \(u_3 = 5 + 5 = 10\) ; \(u_4 = 10 + 7 = 17\).
2. Ces valeurs correspondent à \(u_n = n^2 + 1\) (\(1, 2, 5, 10, 17\)). Si \(u_n = n^2 + 1\), alors \(u_n + 2n + 1 = n^2 + 2n + 2 = (n+1)^2 + 1 = u_{n+1}\) : la formule est compatible avec la relation, et \(u_0 = 1\).
3. \(u_{n+1} - u_n = 2n + 1 > 0\) : la suite est strictement croissante.

10 Suite définie par un algorithme ★★★

La boucle calcule \(u_1\) à \(u_5\) : \(u_1 = 2 + 3 = 5\) ; \(u_2 = 2{,}5 + 3 = 5{,}5\) ; \(u_3 = 2{,}75 + 3 = 5{,}75\) ; \(u_4 = 2{,}875 + 3 = 5{,}875\) ; \(u_5 = 2{,}9375 + 3 = 5{,}9375\).

L’algorithme affiche \(5{,}9375\). Les valeurs semblent se rapprocher de \(6\).

11 Une colonie de lucioles ★★★

1. Augmenter de \(5\) % revient à multiplier par \(1{,}05\) : \(u_{n+1} = 1{,}05\,u_n\) avec \(u_0 = 200\).
2. n ← 0 ; u ← 200
   tant que u ≤ 300 :
       u ← 1,05 × u
       n ← n + 1
   renvoyer n
3. On trouve \(u_8 \approx 295{,}49\) (pas encore supérieur à \(300\)) et \(u_9 \approx 310{,}27\). Donc \(n = 9\).

12 Des abonnés qui vont et viennent ★★★

1. Perdre \(10\) % revient à multiplier par \(0{,}9\), puis on ajoute \(250\).
2. \(u_1 = 900 + 250 = 1150\) ; \(u_2 = 1035 + 250 = 1285\) ; \(u_3 = 1156{,}5 + 250 = 1406{,}5\).
3. \(u_{n+1} - u_n = 0{,}9u_n + 250 - u_n = 250 - 0{,}1u_n\). Cette différence est positive si et seulement si \(0{,}1u_n < 250\), soit \(u_n < 2500\). Tant que \(u_n < 2500\), la suite est donc croissante.

13 Lire un escalier ★★★

1. \(u_1 = 3{,}6 + 1{,}2 = 4{,}8\) ; \(u_2 = 2{,}88 + 1{,}2 = 4{,}08\) ; \(u_3 = 2{,}448 + 1{,}2 = 3{,}648\).
2. Les marches descendent : la suite semble décroissante, et ses termes se rapprochent d’une valeur proche de \(3\).
3. On résout \(0{,}6x + 1{,}2 = x\), soit \(1{,}2 = 0{,}4x\), donc \(x = 3\). Le point d’intersection est \((3\,;3)\) : c’est la valeur vers laquelle l’escalier descend.

14 Quotient ou différence ? ★★★

1. Les termes sont strictement positifs et \(\dfrac{v_{n+1}}{v_n} = 0{,}8 < 1\), donc \(v_{n+1} < v_n\) : strictement décroissante.
2. \(v_0 = 7\) ; \(v_1 = 5{,}6\) ; \(v_2 = 7 \times 0{,}64 = 4{,}48\).
3. \(w_0 = 1\) ; \(w_1 = -2\) ; \(w_2 = 4\) ; \(w_3 = -8\). Les termes ne sont pas tous positifs : la méthode du quotient ne s’applique pas. Comme \(w_1 < w_0\) mais \(w_2 > w_1\), la suite n’est ni croissante ni décroissante.

15 Une suite avec une fraction ★★★

1. \(u_0 = \dfrac{1}{3}\) ; \(u_1 = \dfrac{3}{4}\) ; \(u_2 = \dfrac{5}{5} = 1\).
2. \(u_{n+1} = \dfrac{2n+3}{n+4}\), donc \(u_{n+1} - u_n = \dfrac{(2n+3)(n+3) - (2n+1)(n+4)}{(n+3)(n+4)}\). Le numérateur vaut \((2n^2 + 9n + 9) - (2n^2 + 9n + 4) = 5\).
3. Le numérateur \(5\) et le dénominateur sont strictement positifs : la suite est strictement croissante.
4. \(2 - u_n = \dfrac{2(n+3) - (2n+1)}{n+3} = \dfrac{5}{n+3} > 0\), donc \(u_n < 2\) pour tout \(n\).

16 Le bénéfice d’une boulangerie ★★★

1. \(b_0 = -9\) ; \(b_1 = -1 + 10 - 9 = 0\) ; \(b_9 = -81 + 90 - 9 = 0\).
2. \(b_{n+1} - b_n = -(n+1)^2 + 10(n+1) - 9 + n^2 - 10n + 9 = -2n - 1 + 10 = 9 - 2n\).
3. \(9 - 2n > 0\) pour \(n \leq 4\) et \(9 - 2n < 0\) pour \(n \geq 5\). La suite croît jusqu’au rang \(5\) puis décroît. Le maximum est \(b_5 = -25 + 50 - 9 = 16\), soit \(1\,600\) €, au mois numéro \(5\).
4. La suite croît de \(b_1 = 0\) à \(b_5 = 16\) puis décroît jusqu’à \(b_9 = 0\). Elle est strictement positive pour \(n\) de \(2\) à \(8\).

17 Conjecturer une formule ★★★

1. \(u_1 = \dfrac{1}{2}\) ; \(u_2 = \dfrac{1/2}{3/2} = \dfrac{1}{3}\) ; \(u_3 = \dfrac{1/3}{4/3} = \dfrac{1}{4}\).
2. On conjecture \(u_n = \dfrac{1}{n+1}\). Si c’est vrai pour \(n\), alors \(\dfrac{u_n}{1+u_n} = \dfrac{1/(n+1)}{(n+2)/(n+1)} = \dfrac{1}{n+2} = u_{n+1}\) : la formule respecte la relation.
3. \(u_{n+1} - u_n = \dfrac{1}{n+2} - \dfrac{1}{n+1} = \dfrac{-1}{(n+1)(n+2)} < 0\) : la suite est strictement décroissante.

18 Un algorithme de seuil à compléter ★★★

1. \(u_0 = 100\) et \(u_{n+1} = 0{,}8\,u_n\).
2. \(n\) est le plus petit rang pour lequel \(u_n < 10\), c’est-à-dire la première heure où il reste moins de \(10\) litres. On calcule \(u_{10} = 100 \times 0{,}8^{10} \approx 10{,}74 \geq 10\) puis \(u_{11} \approx 8{,}59 < 10\). Donc \(n = 11\).
3. La valeur finale de \(u\) est \(u_{11} \approx 8{,}59\) litres.

19 Un réservoir qui se stabilise ★★★

1. Il reste \(95\) % de l’eau, puis on ajoute \(40\) litres. \(u_1 = 570 + 40 = 610\) ; \(u_2 = 579{,}5 + 40 = 619{,}5\) ; \(u_3 = 588{,}525 + 40 = 628{,}525\).
2. Si \(u_0 = 800\), alors \(u_1 = 0{,}95 \times 800 + 40 = 760 + 40 = 800\). Chaque terme vaut donc \(800\) : la suite est constante.
3. Si \(u_n < 800\), alors \(u_{n+1} = 0{,}95u_n + 40 < 0{,}95 \times 800 + 40 = 800\). Par ailleurs \(u_{n+1} - u_n = 40 - 0{,}05u_n > 40 - 0{,}05 \times 800 = 0\). Comme \(u_0 = 600 < 800\), tous les termes restent inférieurs à \(800\) et la suite est strictement croissante : le réservoir se remplit sans jamais dépasser \(800\) litres.

20 Vrai ou faux avec contre-exemples ★★★

1. Vrai : \(u_0 = 1\), \(u_1 = -1\), \(u_2 = 1\) : elle descend puis monte.
2. Faux : \(u_n = 10 - n\) est décroissante (\(u_{n+1} - u_n = -1\)) mais \(u_0 = 10 > 0\).
3. Vrai : \(w_{n+1} - w_n = (n+1)^2 - 5(n+1) - n^2 + 5n = 2n - 4\), qui est strictement positif dès que \(n \geq 3\).
4. Faux : \(t_{n+1} - t_n = (n - 150)^2 - (n - 149)^2 = 299 - 2n\), positif pour \(n \leq 149\) mais \(t_{151} - t_{150} = -1 < 0\). Vérifier un nombre fini de termes ne prouve rien pour tous les \(n\).