Variables aléatoires et loi binomiale : contrôle de maths Terminale à télécharger en PDF

1 La roue des gains / 4 pts

Une roue donne un gain \(X\) (en euros) de loi : \(P(X=-3) = 0{,}35\), \(P(X=0) = a\), \(P(X=4) = 0{,}2\), \(P(X=10) = 0{,}05\).

1. Calcule \(a\). 2. Calcule \(E(X)\). 3. Calcule \(V(X)\) puis \(\sigma(X)\) (arrondi au centième). 4. Interprète \(E(X)\).

2 Réponses au hasard / 4 pts

Un test comporte 12 questions, chacune avec 4 réponses dont une seule exacte. Une élève répond au hasard à toutes les questions. Soit \(X\) le nombre de bonnes réponses.

1. Justifie que \(X\) suit une loi binomiale dont tu donneras les paramètres. 2. Calcule \(P(X = 3)\) à \(10^{-4}\) près. 3. Calcule la probabilité d’avoir au moins une bonne réponse. 4. Donne \(E(X)\) et \(\sigma(X)\).

3 Combiner deux variables / 3 pts

Deux variables indépendantes \(X\) et \(Y\) vérifient \(E(X) = 4\), \(\sigma(X) = 2\), \(E(Y) = 6\), \(V(Y) = 9\). On pose \(S = 2X + Y - 1\) et \(T = X - Y\).

Calcule \(E(S)\), \(V(S)\), \(\sigma(S)\), puis \(E(T)\) et \(V(T)\).

4 Quatre cents lancers / 4 pts

On lance 400 fois une pièce équilibrée ; \(X\) est le nombre de piles.

1. Donne la loi de \(X\), \(E(X)\) et \(V(X)\). 2. Majore \(P(|X - 200| \geqslant 30)\). 3. En déduire une minoration de \(P(170 < X < 230)\). 4. Trouve le plus petit entier \(\delta\) tel que \(P(|X - 200| < \delta) \geqslant 0{,}96\) soit garanti par l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

5 Pièces défectueuses / 3 pts

Une machine fabrique des pièces défectueuses avec la probabilité \(0{,}1\), indépendamment les unes des autres. On prélève 5 pièces ; \(X\) est le nombre de pièces défectueuses.

1. Calcule \(P(X = 0)\). 2. Calcule \(P(X \leqslant 1)\). 3. En déduire \(P(X \geqslant 2)\). (Arrondis à \(10^{-4}\).)

6 Un sondage assez grand / 2 pts

On cherche la proportion \(p = 0{,}3\) d’habitants d’une ville possédant un vélo. On interroge \(n\) habitants indépendants ; \(F_n\) est la fréquence observée de propriétaires.

1. Donne \(V(F_n)\). 2. Détermine \(n\) pour que \(P(|F_n - 0{,}3| \geqslant 0{,}1) \leqslant 0{,}05\) soit garanti par Bienaymé-Tchebychev.