Arithmétique et structures : corrigé du contrôle de maths Licence L1 à télécharger en PDF

1 PGCD et Bézout / 4 pts

1) \(1155 = 2 \times 455 + 245\), \(455 = 245 + 210\), \(245 = 210 + 35\), \(210 = 6 \times 35\). Donc \(a \wedge b = 35\). (1,5 pt)

2) PPCM \(= \dfrac{1155 \times 455}{35} = 15015\). (1 pt)

3) \(35 = 245 - 210 = 245 - (455 - 245) = 2 \times 245 - 455 = 2(1155 - 2 \times 455) - 455 = 2 \times 1155 - 5 \times 455\). Donc \((u, v) = (2, -5)\) ; vérification \(2310 - 2275 = 35\). (1,5 pt)

2 Congruences / 4 pts

1) \(9 \times 5 = 45 = 4 \times 11 + 1\) : l’inverse de 9 est 5 (1 pt). Donc \(x \equiv 5 \times 6 = 30 \equiv 8 \pmod{11}\) (1 pt). Contrôle : \(72 = 6 \times 11 + 6\) (0,5 pt).

2) \(3^5 = 243 = 22 \times 11 + 1\), donc \(3^5 \equiv 1\) (1 pt). Comme \(2026 = 5 \times 405 + 1\), \(3^{2026} \equiv 3\) : le reste est 3 (0,5 pt).

3 Un groupe cyclique / 4 pts

1) Les éléments premiers avec 9 : \(G = \{1, 2, 4, 5, 7, 8\}\), d’ordre 6. (1 pt)

2) Les puissances de 2 : \(2, 4, 8, 16 \equiv 7, 14 \equiv 5, 10 \equiv 1\). On obtient les six éléments : 2 est d’ordre 6 et engendre \(G\). (1,5 pt)

3) Les ordres possibles divisent 6 : \(\{1\}\), \(\{1, 8\}\) (ordre 2), \(\{1, 4, 7\}\) (ordre 3), et \(G\). (1,5 pt)

4 Un morphisme / 4 pts

1) Si \(x \equiv x' \pmod{20}\), alors \(10 \mid 20 \mid x - x'\), donc \(x \equiv x' \pmod{10}\) : bien définie. Et \(f(x + y) = f(x) + f(y)\). (1,5 pt)

2) \(\ker f = \{x : 10 \mid x\} = \{0, 10\}\). (1 pt)

3) Le noyau n’est pas réduit à \(\{0\}\) : \(f\) n’est pas injectif. Tout élément de \(\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}\) est l’image de la classe du même entier modulo 20 : \(f\) est surjectif. (1,5 pt)

5 Anneaux et corps / 4 pts

1) Ce sont les entiers premiers avec 8 : \(1, 3, 5, 7\). (1 pt)

2) Non : \(2 \times 4 = 8 \equiv 0\) avec \(2, 4 \ne 0\), donc 2 n’est pas inversible. (1,5 pt)

3) 7 est premier : tout entier de 1 à 6 est premier avec 7, donc inversible ; \(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}\) est un corps. Comme \(3 \times 5 = 15 = 2 \times 7 + 1\), l’inverse de 3 est 5. (1,5 pt)