Applications linéaires et matrices : contrôle de maths Licence L1 à télécharger en PDF

1 Linéarité et matrice / 3 pts

Soit \(g : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2\), \(g(x,y,z) = (x - y + 2z,\ 2x + y - z)\).

1. Justifier que \(g\) est linéaire.
2. Donner sa matrice dans les bases canoniques.
3. Calculer \(g(1,2,-1)\).

2 Noyau, image, rang / 4 pts

Soit \(h\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^3\) de matrice \(H = \begin{pmatrix} 1&1&0 \\ 0&1&1 \\ 1&2&1 \end{pmatrix}\).

1. Déterminer le noyau de \(h\).
2. Déduire le rang de \(h\) du théorème du rang.
3. Donner une base de l’image. \(h\) est-elle bijective ?

3 Puissances d’une matrice / 3 pts

Soit \(A = \begin{pmatrix} 1&1 \\ 0&1 \end{pmatrix}\).

1. Calculer \(A^2\) et \(A^3\).
2. Conjecturer \(A^n\) puis le démontrer par récurrence.
3. Justifier que \(A\) est inversible et donner \(A^{-1}\).

4 Inverse et système / 4 pts

Soit \(Q = \begin{pmatrix} 2&1&0 \\ 1&1&0 \\ 0&1&1 \end{pmatrix}\).

1. Calculer \(Q^{-1}\) par la méthode du pivot.
2. En déduire la solution de \(QX = (3,2,1)\).

5 Diagonalisation / 3 pts

Soit \(A = \begin{pmatrix} 1&2 \\ 0&3 \end{pmatrix}\), \(u_1 = (1,0)\), \(u_2 = (1,1)\) et \(P = \begin{pmatrix} 1&1 \\ 0&1 \end{pmatrix}\).

1. Calculer \(Au_1\) et \(Au_2\).
2. Donner \(P^{-1}\) et la matrice \(D = P^{-1}AP\).
3. En déduire \(A^n\).

6 Système linéaire / 3 pts

Résoudre par la méthode du pivot : \(x + y + z = 3\), \(2x - y + z = 4\), \(x + 3y - z = -1\).