Arithmétique et structures : exercices corrigés de maths Licence L1 à télécharger en PDF

1 PGCD de deux entiers ★★★

\(126 = 1 \times 84 + 42\) puis \(84 = 2 \times 42 + 0\). Le dernier reste non nul est 42, donc \(126 \wedge 84 = 42\).

Le PPCM vaut \(\dfrac{126 \times 84}{42} = 252\).

2 Diviseurs de 90 ★★★

\(90 = 2 \times 3^2 \times 5\), donc \(2 \times 3 \times 2 = 12\) diviseurs : \(1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90\).

3 Décomposition en facteurs premiers ★★★

\(756 = 2 \times 378 = 2^2 \times 189 = 2^2 \times 3^3 \times 7\). Le nombre de diviseurs est \((2+1)(3+1)(1+1) = 24\).

4 Restes par congruences ★★★

La somme des chiffres de 2024 est 8, donc \(2024 \equiv 8 \pmod 9\). Ensuite \(2024 = 7 \times 289 + 1\), donc \(2024 \equiv 1 \pmod 7\). Les restes sont 8 et 1.

5 Équation dans Z/7Z ★★★

Première équation : \(x = 2 - 5 = -3 \equiv 4\). Pour la seconde, l’inverse de 3 modulo 7 est 5 (car \(15 = 2 \times 7 + 1\)), donc \(x = 5 \times 4 = 20 \equiv 6\). Contrôle : \(3 \times 6 = 18 \equiv 4\).

6 Premiers entre eux ★★★

\(51 - 50 = 1\). D’après Bézout, \(17 \wedge 10 = 1\). En réduisant modulo 17, \(-5 \times 10 \equiv 1\), donc l’inverse de 10 est \(-5 \equiv 12\). Contrôle : \(120 = 7 \times 17 + 1\).

7 Sous-groupe ou non ? ★★★

Les impairs ne contiennent pas l’élément neutre 0 : ce n’est pas un sous-groupe (de plus \(1 + 1 = 2\) est pair). Les multiples de 6 forment \(6\mathbb{Z}\), qui contient 0 et est stable par différence : c’est un sous-groupe.

8 PGCD et PPCM ★★★

\(924 = 2 \times 396 + 132\), \(396 = 3 \times 132\). Donc \(924 \wedge 396 = 132\) et le PPCM vaut \(\dfrac{924 \times 396}{132} = 2772\).

9 Relation de Bézout ★★★

L’algorithme d’Euclide donne \(38 = 2 \times 15 + 8\), \(15 = 8 + 7\), \(8 = 7 + 1\). En remontant : \(1 = 8 - 7 = 2 \times 8 - 15 = 2 \times (38 - 2 \times 15) - 15 = 2 \times 38 - 5 \times 15\). Donc \((u, v) = (2, -5)\), et \(76 - 75 = 1\).

10 Équations diophantiennes ★★★

1) \(15 \wedge 21 = 3\) divise 9 ; on simplifie : \(5x + 7y = 3\). Une solution particulière est \((2, -1)\) car \(10 - 7 = 3\). Comme \(5 \wedge 7 = 1\), le lemme de Gauss donne les solutions \((x, y) = (2 + 7k, -1 - 5k)\), \(k \in \mathbb{Z}\).

2) Le PGCD 3 ne divise pas 10 : aucune solution.

11 Puissance modulo 7 ★★★

7 est premier et ne divise pas 3, donc \(3^6 \equiv 1 \pmod 7\). Comme \(100 = 6 \times 16 + 4\), \(3^{100} \equiv 3^4 = 81 \equiv 4 \pmod 7\). Le reste est 4.

12 Congruence linéaire ★★★

\(7 \wedge 15 = 1\) et \(7 \times 13 = 91 = 6 \times 15 + 1\) : l’inverse de 7 est 13. Donc \(x \equiv 13 \times 4 = 52 \equiv 7 \pmod{15}\). Contrôle : \(7 \times 7 = 49 = 3 \times 15 + 4\).

13 Un groupe de quatre éléments ★★★

Les produits sont dans \(G\) (voir la table du cours), la loi est associative, 1 est neutre. On a \(3 \times 3 = 9 \equiv 1\), \(5 \times 5 = 25 \equiv 1\), \(7 \times 7 = 49 \equiv 1\) : chaque élément est son propre inverse. Donc \(G\) est un groupe. Aucun élément n’est d’ordre 4 (tous sont d’ordre 1 ou 2), donc \(G\) n’est pas cyclique.

14 Sous-groupe engendré dans Z/20Z ★★★

Les multiples de 8 modulo 20 sont \(8, 16, 24 \equiv 4, 12, 20 \equiv 0\). Le sous-groupe est \(\{0, 4, 8, 12, 16\}\), d’ordre \(20 / (8 \wedge 20) = 20/4 = 5\). Et \(5 \mid 20\) : Lagrange est vérifié.

15 Un sous-groupe de Q* ★★★

\(1 = 2^0 3^0 \in H\). Soit \(x = 2^a 3^b\) et \(y = 2^c 3^d\) dans \(H\). Alors \(x y^{-1} = 2^{a-c} 3^{b-d}\) avec \(a - c, b - d \in \mathbb{Z}\), donc \(x y^{-1} \in H\). Par la caractérisation, \(H\) est un sous-groupe de \(\mathbb{Q}^{*}\).

16 Noyau et image ★★★

Si \(x \equiv x' \pmod{12}\), alors \(5x \equiv 5x' \pmod{15}\) : \(f\) est bien définie. Puis \(f(x + y) = 5x + 5y = f(x) + f(y)\) : c’est un morphisme.

\(5x \equiv 0 \pmod{15} \iff 3 \mid x\), donc \(\ker f = \{0, 3, 6, 9, 12\}\). L’image est \(\{0, 5, 10\}\). Les ordres sont 5 et 3 ; leur produit vaut 15, l’ordre du groupe de départ.

17 Une propriété des PGCD ★★★

Supposons qu’un nombre premier \(p\) divise \(a + b\) et \(ab\). Comme \(p \mid ab\), \(p \mid a\) ou \(p \mid b\) (lemme d’Euclide). Si \(p \mid a\), alors \(p \mid (a + b) - a = b\), donc \(p\) divise \(a\) et \(b\), ce qui contredit \(a \wedge b = 1\). Le cas \(p \mid b\) est symétrique. Aucun premier ne divise les deux, donc \((a + b) \wedge (ab) = 1\).

18 Fermat et grande puissance ★★★

13 est premier et ne divise pas 2, donc \(2^{12} \equiv 1 \pmod{13}\). Or \(2026 = 12 \times 168 + 10\), donc \(2^{2026} \equiv 2^{10} = 1024 \pmod{13}\). Comme \(1024 = 78 \times 13 + 10\), le reste est 10.

19 Inversibles et diviseurs de zéro ★★★

Un élément \(a\) est inversible si et seulement si \(a \wedge 12 = 1\) : ce sont \(1, 5, 7, 11\). Un diviseur de zéro : \(3 \times 4 = 12 \equiv 0\) avec \(3, 4 \ne 0\).

Les carrés : \(1^2 = 1\), \(5^2 = 25 \equiv 1\), \(7^2 = 49 \equiv 1\), \(11^2 = 121 \equiv 1\), et aucun autre élément ne convient : il y a 4 solutions. Dans le corps \(\mathbb{Z}/13\mathbb{Z}\), \(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) = 0\) n’a que deux solutions \(\pm 1\), car un corps n’a pas de diviseur de zéro.

20 Une équation du second degré dans F7 ★★★

Calculons \(x^2 + x + 3\) pour \(x = 0, \dots, 6\) modulo 7 : \(3, 5, 9 \equiv 2, 15 \equiv 1, 23 \equiv 2, 33 \equiv 5, 45 \equiv 3\). Aucune valeur n’est nulle : l’équation n’a pas de solution dans \(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}\). (Cohérent avec le discriminant \(1 - 12 = -11 \equiv 3\), qui n’est pas un carré modulo 7 : les carrés sont \(0, 1, 2, 4\).)