Applications linéaires et matrices : exercices corrigés de maths Licence L1 à télécharger en PDF

1 Linéaire ou non ? ★★★

1. \(f_1\) est linéaire : chaque composante est combinaison linéaire de \(x\) et \(y\). Plus précisément, \(f_1(\lambda u + v) = \lambda f_1(u) + f_1(v)\) se vérifie composante par composante.
2. \(f_2(0,0) = (1,0) \neq (0,0)\) : une application linéaire envoie \(0\) sur \(0\), donc \(f_2\) n’est pas linéaire.
3. Contre-exemple : \(f_3(2,2) = (4,2)\) alors que \(2f_3(1,1) = 2(1,1) = (2,2)\). La deuxième propriété échoue, \(f_3\) n’est pas linéaire.

2 Lire une matrice ★★★

1. Les colonnes sont \(g(e_1) = (1,0)\), \(g(e_2) = (-1,3)\), \(g(e_3) = (2,-1)\). Donc \(\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 3 & -1 \end{pmatrix}\).
2. \(g(2,1,-1) = (2 - 1 - 2,\ 3 + 1) = (-1, 4)\), ce que confirme le produit matriciel de la matrice par la colonne \((2,1,-1)\).

3 Deux produits ★★★

\(AB = \begin{pmatrix} 3+4 & 1-4 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & -3 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}\). \(BA = \begin{pmatrix} 3 & 6-1 \\ 2 & 4+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}\).

Les deux matrices sont différentes : le produit matriciel n’est pas commutatif.

4 Un noyau et une image ★★★

\(h(x,y) = 0\) équivaut à \(x = 2y\) (la seconde équation est \(-3\) fois la première). Donc \(\operatorname{Ker} h = \operatorname{Vect}((2,1))\), de dimension \(1\). Vérification : \(h(2,1) = (0, -6+6) = (0,0)\).

Théorème du rang : \(\operatorname{rg} h = 2 - 1 = 1\). Comme \(h(x,y) = (x-2y)\,(1,-3)\), l’image est la droite \(\operatorname{Vect}((1,-3))\).

5 Inverse d’une matrice 2 × 2 ★★★

1. \(\det M = 3 \times 2 - 5 \times 1 = 1 \neq 0\), donc \(M\) est inversible et \(M^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}\).
2. \(X = M^{-1}\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 - 5 \\ -4 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}\). Vérification : \(3\times 3 + 5 \times (-1) = 4\) et \(3 - 2 = 1\).

6 Carnets et stylos ★★★

Notons \(x\) le prix d’un carnet et \(y\) celui d’un stylo : \(3x + 2y = 12\) et \(2x + y = 7\). La seconde équation donne \(y = 7 - 2x\). En remplaçant, \(3x + 14 - 4x = 12\), donc \(x = 2\) puis \(y = 3\).

Un carnet coûte \(2\) euros et un stylo \(3\) euros. Vérification : \(6 + 6 = 12\) et \(4 + 3 = 7\).

7 Vrai ou faux ? ★★★

1. Vrai : \(f(0) = f(0 \cdot 0) = 0 \cdot f(0) = 0\).
2. Faux : le contre-exemple de l’exercice 3 montre \(AB \neq BA\).
3. Vrai : le rang est le nombre de colonnes indépendantes (au plus \(5\)) et aussi le nombre de lignes indépendantes (au plus \(3\)), donc au plus \(3\).
4. Faux : une matrice inversible a un noyau réduit à \(0\) ; avec un noyau non nul, elle n’est pas inversible.

8 Rotation puis symétrie ★★★

1. \(R = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\) et \(S = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\).
2. \(SR = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\) (matrice de \(s \circ r\)) et \(RS = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\) (matrice de \(r \circ s\)). On constate \(SR = -RS \neq RS\) : l’ordre compte.
3. \((s \circ r)(1,2) = SR\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} = (-2,-1)\) et \((r \circ s)(1,2) = (2,1)\). Directement : \(r(1,2) = (-2,1)\) puis \(s(-2,1) = (-2,-1)\).

9 Rang et noyau en dimension 4 ★★★

1. \(f(x,y,z,t) = 0\) équivaut à \(y = -x\), \(z = -y = x\), \(t = -z = -x\). Donc \(\operatorname{Ker} f = \operatorname{Vect}((1,-1,1,-1))\), de dimension \(1\).
2. Théorème du rang : \(\operatorname{rg} f = 4 - 1 = 3 = \dim \mathbb{R}^3\). L’image est donc \(\mathbb{R}^3\) tout entier : \(f\) est surjective (mais pas injective, car le noyau est non nul).

10 Matrice de rang 2 ★★★

1. \(C(1,-2,1) = (1-4+3,\ 4-10+6,\ 7-16+9) = (0,0,0)\).
2. On vérifie \(2 \times (2,5,8) - (1,4,7) = (3,6,9)\) : la troisième colonne vaut \(2C_2 - C_1\). Les deux premières colonnes ne sont pas proportionnelles, donc \(\operatorname{rg} C = 2\) et \(\big((1,4,7),(2,5,8)\big)\) est une base de l’image. Le noyau est de dimension \(3 - 2 = 1\), engendré par \((1,-2,1)\).
3. Un vecteur orthogonal aux deux colonnes est \((1,-2,1)\), et \((1,4,7)\) vérifie \(1 - 8 + 7 = 0\), \((2,5,8)\) vérifie \(2 - 10 + 8 = 0\). L’image est le plan \(x - 2y + z = 0\).

11 Inverse d’une matrice triangulaire ★★★

1. On part de \((T \mid I)\). \(L_2 \leftarrow L_2 - 3L_3\) donne \((0\ 1\ 0 \mid 0\ 1\ -3)\). Puis \(L_1 \leftarrow L_1 - 2L_2\) donne \((1\ 0\ 0 \mid 1\ -2\ 6)\). Donc
   \[ T^{-1} = \begin{pmatrix} 1&-2&6 \\ 0&1&-3 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}. \]
2. \(X = T^{-1}(1,2,3) = (1 - 4 + 18,\ 2 - 9,\ 3) = (15, -7, 3)\). Vérification : \(15 - 14 = 1\), \(-7 + 9 = 2\), \(3\).

12 Changement de base et puissance ★★★

1. \(Au_1 = (4-2,\ 1+1) = (2,2) = 2u_1\) et \(Au_2 = (8-2,\ 2+1) = (6,3) = 3u_2\). Donc \(D = \begin{pmatrix} 2&0 \\ 0&3 \end{pmatrix}\).
2. \(P = \begin{pmatrix} 1&2 \\ 1&1 \end{pmatrix}\), \(\det P = -1\), \(P^{-1} = \begin{pmatrix} -1&2 \\ 1&-1 \end{pmatrix}\). Alors \(D^3 = \begin{pmatrix} 8&0 \\ 0&27 \end{pmatrix}\), \(PD^3 = \begin{pmatrix} 8&54 \\ 8&27 \end{pmatrix}\) et
   \[ A^3 = \begin{pmatrix} 46 & -38 \\ 19 & -11 \end{pmatrix}. \]
   Contrôle par \(A^2 = \begin{pmatrix} 14&-10 \\ 5&-1 \end{pmatrix}\) puis \(A^3 = A^2A\).

13 Échelonner une matrice ★★★

\(L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1\) donne \((0\ 0\ 3)\), \(L_3 \leftarrow L_3 - 3L_1\) donne \((0\ 0\ 3)\), puis \(L_3 \leftarrow L_3 - L_2\) donne \((0\ 0\ 0)\). La forme échelonnée a \(2\) pivots : \(\operatorname{rg} M = 2\).

Noyau : \(3z = 0\) donc \(z = 0\), puis \(x + 2y = 0\). Une base du noyau est \(\big((-2,1,0)\big)\), de dimension \(3 - 2 = 1\), conformément au théorème du rang.

14 Un système 3 × 3 ★★★

On échange \(L_1\) et \(L_2\) pour avoir un pivot égal à \(1\) : \(x - y + 2z = 9\). Puis \(L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1\) donne \(3y - 3z = -12\), soit \(y - z = -4\). Et \(L_3 \leftarrow L_3 - 3L_1\) donne \(5y - 7z = -26\).

De \(y = z - 4\), on tire \(5z - 20 - 7z = -26\), donc \(z = 3\), \(y = -1\) et \(x = 9 + y - 2z = 2\). Solution : \((2, -1, 3)\). Vérification dans la troisième équation : \(6 - 2 - 3 = 1\).

15 Noyau, image et injectivité ★★★

1. \(f(0_E) = 0_F\), donc \(0_E \in \operatorname{Ker} f\). Si \(u, v \in \operatorname{Ker} f\) et \(\lambda \in \mathbb{R}\), alors \(f(\lambda u + v) = \lambda f(u) + f(v) = 0\), donc \(\lambda u + v \in \operatorname{Ker} f\).
2. \(0_F = f(0_E) \in \operatorname{Im} f\). Si \(a = f(u)\) et \(b = f(v)\), alors \(\lambda a + b = f(\lambda u + v) \in \operatorname{Im} f\).
3. Si \(f\) est injective et \(u \in \operatorname{Ker} f\), alors \(f(u) = 0 = f(0)\) donc \(u = 0\). Réciproquement, si \(\operatorname{Ker} f = \{0\}\) et \(f(u) = f(v)\), alors \(f(u - v) = 0\), donc \(u - v = 0\), c’est-à-dire \(u = v\).

16 Endomorphisme de carré nul ★★★

1. Si \(y = f(x)\) est dans l’image, alors \(f(y) = f(f(x)) = 0\), donc \(y \in \operatorname{Ker} f\).
2. L’inclusion donne \(\operatorname{rg} f \leq \dim \operatorname{Ker} f = n - \operatorname{rg} f\) d’après le théorème du rang, donc \(2\operatorname{rg} f \leq n\). Pour \(n = 7\), \(\operatorname{rg} f \leq 3\) (partie entière de \(3{,}5\)).
3. \(f(x,y) = (y, 0)\) : alors \(f(f(x,y)) = f(y,0) = (0,0)\), et \(\operatorname{rg} f = 1 \leq 1\).

17 Inverse de I − N ★★★

1. \(N^2 = \begin{pmatrix} 0&0&3 \\ 0&0&0 \\ 0&0&0 \end{pmatrix}\) et \(N^3 = N^2 N = 0\).
2. En développant, \((I - N)(I + N + N^2) = I + N + N^2 - N - N^2 - N^3 = I - N^3 = I\). Donc \(I - N\) est inversible et
   \[ (I - N)^{-1} = I + N + N^2 = \begin{pmatrix} 1&1&5 \\ 0&1&3 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}. \]
   (Le coefficient \(5\) vaut \(2 + 3\).)

18 Système à paramètre ★★★

\(L_2 \leftarrow L_2 - L_1\) donne \((m-1)y = 0\) et \(L_3 \leftarrow L_3 - L_1\) donne \((m-1)z = m - 1\).

Cas \(m \neq 1\) : \(y = 0\), \(z = 1\), puis \(x = 1 - y - z = 0\). Solution unique \((0, 0, 1)\) ; on vérifie la troisième équation : \(0 + 0 + m = m\).

Cas \(m = 1\) : les trois équations se réduisent à \(x + y + z = 1\). Les solutions forment le plan \(\{(1 - b - c,\ b,\ c) \mid b, c \in \mathbb{R}\}\), infini, de direction \(\operatorname{Ker} A\) de dimension \(2\).

19 Projection oblique ★★★

1. On résout \(a + b = 1\), \(2a + b = 0\) : \(a = -1\), \(b = 2\), donc \(e_1 = -u + 2v\). Pour \(e_2\) : \(a + b = 0\), \(2a + b = 1\), donc \(a = 1\), \(b = -1\) et \(e_2 = u - v\).
2. \(p(u) = u\) et \(p(v) = 0\) donnent \(p(e_1) = -u = (-1,-2)\) et \(p(e_2) = u = (1,2)\). Donc \(A = \begin{pmatrix} -1&1 \\ -2&2 \end{pmatrix}\) et \(A^2 = \begin{pmatrix} 1-2 & -1+2 \\ 2-4 & -2+4 \end{pmatrix} = A\).
3. Dans \((u,v)\) : \(p(u) = 1\cdot u + 0 \cdot v\) et \(p(v) = 0\), la matrice est \(\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&0 \end{pmatrix}\). On lit \(\operatorname{rg} p = 1\), \(\operatorname{Ker} p = \operatorname{Vect}(v)\).

20 Dérivation des polynômes ★★★

1. \(D(1) = 0\), \(D(X) = 1\), \(D(X^2) = 2X\), \(D(X^3) = 3X^2\). La matrice (\(4\times 4\)) est \(\begin{pmatrix} 0&1&0&0 \\ 0&0&2&0 \\ 0&0&0&3 \\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}\).
2. Le noyau est l’ensemble des polynômes constants, \(\operatorname{Vect}(1)\), de dimension \(1\) ; donc \(\operatorname{rg} D = 4 - 1 = 3\) : l’image est \(\mathbb{R}_2[X]\).
3. Les coordonnées de \(2X^3 - X + 4\) sont \((4, -1, 0, 2)\). Le produit donne \((-1, 0, 6, 0)\), soit \(6X^2 - 1\), ce qui est bien la dérivée.

21 Migration entre deux villes ★★★

1. \(Mu_1 = (1{,}8+0{,}2,\ 0{,}2+0{,}8) = (2,1) = u_1\) : valeur propre \(1\). \(Mu_2 = (0{,}9-0{,}2,\ 0{,}1-0{,}8) = (0{,}7, -0{,}7) = 0{,}7u_2\) : valeur propre \(0{,}7\).
2. Une répartition stable est un multiple de \(u_1\) de somme \(6\,000\) : \((4000, 2000)\). Vérification : \(0{,}9\times 4000 + 0{,}2 \times 2000 = 4000\).
3. On écrit \(X_0 = 2000\,u_1 - 1000\,u_2\) (car \(2a + b = 3000\) et \(a - b = 3000\) donnent \(a = 2000\), \(b = -1000\)). Donc \(X_n = 2000\,u_1 - 1000 \times 0{,}7^n u_2 = (4000 - 1000 \times 0{,}7^n,\ 2000 + 1000 \times 0{,}7^n)\). Pour \(n = 1\) : \(X_1 = (3300, 2700)\), conforme au calcul direct \(MX_0\). Quand \(n\) grandit, on tend vers \((4000, 2000)\).