Aires et périmètres : exercices corrigés de maths 5ème à télécharger en PDF

1 Tour d’un cercle ★★★

\(\mathcal{P} = 2 \times \pi \times r = 2 \times \pi \times 7 = 14\pi\) cm.

Avec la calculatrice : \(14\pi \approx 43{,}98\), donc la longueur du cercle est d’environ \(44{,}0\) cm.

2 Aire d’un parallélogramme ★★★

\(\mathcal{A} = b \times h = 9 \times 4 = 36\).

L’aire du parallélogramme est \(36\) cm².

3 Aire d’un triangle ★★★

\(\mathcal{A} = \dfrac{b \times h}{2} = \dfrac{12 \times 5}{2} = \dfrac{60}{2} = 30\).

L’aire du triangle est \(30\) cm².

4 Aire d’un petit disque ★★★

\(\mathcal{A} = \pi \times r^2 = \pi \times 3^2 = 9\pi\) cm².

Or \(9\pi \approx 28{,}27\) : l’aire est d’environ \(28{,}3\) cm².

5 Conversions ★★★

1. \(1\) m² \(= 100\) dm², donc \(3\) m² \(= 300\) dm².
2. \(100\) cm² \(= 1\) dm², donc \(4\,500\) cm² \(= 45\) dm².
3. \(1\) ha \(= 10\,000\) m², donc \(2{,}5\) ha \(= 25\,000\) m².
4. \(1\) km² \(= 100\) ha, donc \(0{,}7\) km² \(= 70\) ha.

6 Vrai ou faux ? ★★★

1. Faux. L’aire est base × hauteur, et la hauteur est en général plus petite que le côté incliné. Seul un rectangle donnerait \(24\) cm².
2. Vrai. L’aire ne dépend que de \(\dfrac{b \times h}{2}\), donc elle est la même.
3. Vrai. \(\mathcal{P} = \pi \times d = 10\pi\) cm.

7 Le jardin et les sacs d’engrais ★★★

a) \(\mathcal{A} = 18 \times 12 = 216\) m².

b) \(216 \div 60 = 3{,}6\). Avec \(3\) sacs, on ne couvre que \(180\) m² : il faut 4 sacs.

8 La roue de vélo ★★★

a) \(\mathcal{P} = \pi \times 66 \approx 207{,}3\) cm par tour.

b) \(100\) m \(= 10\,000\) cm et \(10\,000 \div 207{,}3 \approx 48{,}2\). La roue fait environ 48 tours complets (le 49ᵉ tour est entamé quand on atteint \(100\) m).

9 Deux hauteurs ★★★

a) \(\mathcal{A} = 10 \times 4{,}8 = 48\) cm².

b) On prend \([AD]\) comme base : \(6 \times h' = 48\), donc \(h' = 48 \div 6 = 8\).

La hauteur relative à \([AD]\) mesure \(8\) cm.

10 Retrouver une hauteur ★★★

\(\dfrac{12 \times h}{2} = 54\), donc \(12 \times h = 108\) et \(h = 108 \div 12 = 9\).

La hauteur mesure \(9\) cm.

11 Un disque défini par son diamètre ★★★

Le rayon est \(14 \div 2 = 7\) cm.

\(\mathcal{A} = \pi \times 7^2 = 49\pi\) cm² \(\approx 153{,}9\) cm².

12 Carreler une pièce ★★★

a) \(3{,}2\) m \(= 320\) cm et \(2{,}5\) m \(= 250\) cm. \(\mathcal{A} = 320 \times 250 = 80\,000\) cm² (soit \(8\) m²).

b) Un carreau a pour aire \(40 \times 40 = 1\,600\) cm². \(80\,000 \div 1\,600 = 50\).

Il faut 50 carreaux.

13 Triangle rectangle et hauteur ★★★

a) Dans un triangle rectangle, un côté de l’angle droit est la hauteur de l’autre : \(\mathcal{A} = \dfrac{9 \times 12}{2} = 54\) cm².

b) Avec \([BC]\) pour base : \(\dfrac{15 \times h}{2} = 54\), donc \(15 \times h = 108\) et \(h = 108 \div 15 = 7{,}2\).

La hauteur issue de \(A\) mesure \(7{,}2\) cm.

14 Pizza géante ou deux pizzas ? ★★★

Grande pizza : rayon \(15\) cm, \(\mathcal{A} = \pi \times 15^2 = 225\pi \approx 706{,}9\) cm².

Deux petites : rayon \(10\) cm, \(2 \times \pi \times 10^2 = 200\pi \approx 628{,}3\) cm².

Comme \(225\pi > 200\pi\), la grande pizza offre le plus de matière.

15 Le terrain en L ★★★

a) \(\mathcal{A} = 12 \times 8 - 5 \times 3 = 96 - 15 = 81\) m².

b) Le contour se parcourt en avançant de \(12 - 5 = 7\) m, puis \(3\) m, puis \(5\) m, puis \(8 - 3 = 5\) m, puis \(12\) m, puis \(8\) m. \(\mathcal{P} = 7 + 3 + 5 + 5 + 12 + 8 = 40\) m, c’est-à-dire le périmètre du grand rectangle \(2 \times (12 + 8) = 40\) m.

Le terrain a une aire de \(81\) m² et un périmètre de \(40\) m.

16 La façade de la maison ★★★

Rectangle : \(8 \times 5 = 40\) m². Triangle : \(\dfrac{8 \times 3}{2} = 12\) m². Total : \(52\) m².

\(52 \div 13 = 4\) : il faut exactement 4 pots.

17 Les coins du carré ★★★

Le diamètre du disque est égal au côté du carré, donc son rayon vaut \(5\) cm.

Aire du carré : \(10 \times 10 = 100\) cm². Aire du disque : \(\pi \times 5^2 = 25\pi\) cm².

Aire cherchée : \(100 - 25\pi \approx 21{,}5\) cm².

18 La piste d’athlétisme ★★★

a) Les deux demi-cercles forment un cercle complet de diamètre \(40\) m : \(\pi \times 40 = 40\pi\) m. Il reste les deux grands côtés : \(2 \times 100 = 200\) m. \(\mathcal{P} = 200 + 40\pi \approx 325{,}7\) m.

b) Les deux demi-disques forment un disque de rayon \(20\) m : \(\pi \times 20^2 = 400\pi\) m². Le rectangle fait \(100 \times 40 = 4\,000\) m². \(\mathcal{A} = 4\,000 + 400\pi \approx 5\,256{,}6\) m².

19 La moitié du parallélogramme ★★★

Aire du parallélogramme : \(12 \times 5 = 60\) cm².

Le triangle \(ABM\) a pour base \([AB]\) de \(12\) cm. Comme \((CD)\) est parallèle à \((AB)\), tout point \(M\) de \([CD]\) est à la distance \(5\) cm de \((AB)\) : la hauteur du triangle vaut \(5\) cm, où que soit \(M\).

\(\mathcal{A}_{ABM} = \dfrac{12 \times 5}{2} = 30\) cm², soit la moitié de \(60\) cm². L’aire ne dépend pas de la position de \(M\).

20 Planter un verger ★★★

a) \(2{,}4\) ha \(= 2{,}4 \times 10\,000 = 24\,000\) m². Comme \(1\) km² \(= 100\) ha, \(2{,}4\) ha \(= 0{,}024\) km².

b) \(24\,000 \div 36 \approx 666{,}7\). On peut planter au maximum 666 arbres.

21 La couronne ★★★

Aire du grand disque : \(\pi \times 9^2 = 81\pi\) cm². Aire du trou : \(\pi \times 5^2 = 25\pi\) cm².

Aire de métal : \(81\pi - 25\pi = 56\pi \approx 175{,}9\) cm².