Comment mesurer la hauteur d’un arbre sans y grimper ? Comment vérifier que deux poutres d’une charpente sont bien parallèles sans sortir de niveau ? Une même idée répond aux deux questions : quand on trace une droite parallèle à un côté d’un triangle, on fabrique un petit triangle qui est la copie réduite du grand, et toutes ses longueurs sont proportionnelles à celles du grand. C’est le théorème de Thalès, un outil que tu retrouveras au brevet.
1. Parallèles et proportionnalité
Dessine un triangle \(ABC\), puis choisis un point \(M\) sur le côté \([AB]\) et trace la parallèle à \((BC)\) passant par \(M\) : elle coupe \([AC]\) en un point \(N\). Le petit triangle \(AMN\) a la même forme que \(ABC\), seule sa taille change. Quand on passe de \(ABC\) à \(AMN\), chaque longueur est multipliée par le même nombre, par exemple \(0{,}4\). C’est cette proportionnalité que le théorème de Thalès exprime avec des quotients.
2. Le théorème de Thalès
Soit \(ABC\) un triangle, \(M\) un point de la droite \((AB)\) et \(N\) un point de la droite \((AC)\). Si les droites \((MN)\) et \((BC)\) sont parallèles, alors les longueurs des côtés des triangles \(AMN\) et \(ABC\) sont proportionnelles :
\[ \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC} \]
Dans les trois quotients, le numérateur est une longueur du petit triangle \(AMN\) et le dénominateur la longueur correspondante du grand triangle \(ABC\). Le côté \([AM]\) correspond à \([AB]\), le côté \([AN]\) à \([AC]\) et le côté \([MN]\) à \([BC]\). Le nombre commun aux trois quotients est le rapport de réduction.
Sur ma planète, on range toujours les longueurs du petit triangle en haut et celles du grand en bas, dans le même ordre : sommet, premier point, deuxième point. Avec cette habitude, impossible de mélanger les côtés !
Le théorème ne marche que si les droites sont parallèles : il faut le dire dans la rédaction. De plus, \(\dfrac{AM}{MB}\) n’apparaît pas dans l’égalité de Thalès : le dénominateur est la longueur entière \(AB\), pas le morceau \(MB\).
3. La configuration en papillon
Le théorème s’applique aussi quand \(M\) et \(N\) sont de l’autre côté du point \(A\) : les points \(B\), \(A\), \(M\) sont alignés dans cet ordre, de même que \(C\), \(A\), \(N\), et \((MN)\) est parallèle à \((BC)\). On obtient deux triangles « tête-bêche » qui forment un papillon.
Les égalités sont exactement les mêmes : \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}\). Seule la figure change. Dans le papillon, le rapport peut être plus grand que \(1\) : le triangle \(AMN\) est alors un agrandissement de \(ABC\).
4. Calculer une longueur
- Repère les deux droites sécantes, le point de croisement \(A\) et les deux droites parallèles.
- Écris l’hypothèse : « \((MN)\) et \((BC)\) sont parallèles », puis cite le théorème de Thalès.
- Écris les trois quotients de l’égalité de Thalès, puis remplace par les valeurs connues.
- Garde deux quotients : celui qui est entièrement connu et celui qui contient l’inconnue, puis utilise le produit en croix : si \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\), alors \(d = \dfrac{b \times c}{a}\).
- Conclus par une phrase avec l’unité.
Sur la figure, \(M \in [AB]\), \(N \in [AC]\) et \((MN) \parallel (BC)\), avec \(AM = 4\) cm, \(AB = 10\) cm, \(AN = 6\) cm et \(BC = 12{,}5\) cm. Calcule \(AC\) et \(MN\).
Les droites \((MN)\) et \((BC)\) sont parallèles, donc d’après le théorème de Thalès : \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}\), soit \(\dfrac{4}{10} = \dfrac{6}{AC} = \dfrac{MN}{12{,}5}\).
\(AC = \dfrac{6 \times 10}{4} = 15\) cm et \(MN = \dfrac{12{,}5 \times 4}{10} = 5\) cm.
Les points \(B\), \(A\), \(M\) sont alignés, de même que \(C\), \(A\), \(N\), avec \((BC) \parallel (MN)\), \(AB = 6\), \(AM = 9\), \(AC = 8\) et \(BC = 7\) (en cm). Calcule \(AN\) et \(MN\).
D’après le théorème de Thalès : \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}\), soit \(\dfrac{9}{6} = \dfrac{AN}{8} = \dfrac{MN}{7}\). Le rapport vaut \(\dfrac{9}{6} = 1{,}5\).
\(AN = \dfrac{8 \times 9}{6} = 12\) cm et \(MN = \dfrac{7 \times 9}{6} = 10{,}5\) cm.
5. La réciproque du théorème de Thalès
Le théorème de Thalès part du parallélisme pour obtenir des égalités. La réciproque fait le chemin inverse : à partir de mesures, elle permet de démontrer que deux droites sont parallèles.
Soit \(ABC\) un triangle, \(M\) un point de la droite \((AB)\) et \(N\) un point de la droite \((AC)\). Si \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}\) et si les points \(A, M, B\) et \(A, N, C\) sont alignés dans le même ordre, alors les droites \((MN)\) et \((BC)\) sont parallèles.
- Calcule séparément les deux quotients \(\dfrac{AM}{AB}\) et \(\dfrac{AN}{AC}\).
- Compare-les (le produit en croix évite les valeurs approchées).
- Vérifie que les points sont alignés dans le même ordre.
- Conclus avec le nom de la réciproque.
\(M \in [AB]\) et \(N \in [AC]\) avec \(AM = 3\), \(AB = 8\), \(AN = 4{,}5\) et \(AC = 12\) (en cm). Les droites \((MN)\) et \((BC)\) sont-elles parallèles ?
D’une part \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{3}{8} = 0{,}375\). D’autre part \(\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{4{,}5}{12} = 0{,}375\).
Les deux quotients sont égaux et les points \(A, M, B\) d’une part, \(A, N, C\) d’autre part, sont alignés dans le même ordre : d’après la réciproque du théorème de Thalès, \((MN)\) et \((BC)\) sont parallèles.
6. Prouver que deux droites ne sont pas parallèles
Si les droites étaient parallèles, le théorème de Thalès donnerait des quotients égaux. Donc, si les quotients sont différents, les droites ne sont pas parallèles : c’est la contraposée du théorème.
\(M \in [AB]\) et \(N \in [AC]\) avec \(AM = 3\), \(AB = 7\), \(AN = 4\) et \(AC = 10\) (en cm). Les droites \((MN)\) et \((BC)\) sont-elles parallèles ?
Comparons \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{3}{7}\) et \(\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{4}{10}\). Produits en croix : \(3 \times 10 = 30\) et \(4 \times 7 = 28\).
Comme \(30 \neq 28\), les quotients sont différents : d’après la contraposée du théorème de Thalès, \((MN)\) et \((BC)\) ne sont pas parallèles.
Deux quotients « presque égaux » ne sont pas égaux ! Ici \(0{,}4286\) et \(0{,}4\) sont proches, mais différents. Compare toujours par produits en croix ou par fractions exactes, jamais avec des arrondis.
7. Agrandissement, réduction et échelle
Une figure obtenue en multipliant toutes les longueurs par un même nombre \(k > 0\) est un agrandissement si \(k > 1\) et une réduction si \(0 < k < 1\). Les angles ne changent pas. Le nombre \(k\) est le rapport.
Dans la configuration de Thalès, le triangle \(AMN\) est une réduction (ou un agrandissement) de \(ABC\) de rapport \(k = \dfrac{AM}{AB}\).
Attention : le rapport ne multiplie pas les aires et les volumes de la même façon que les longueurs.
| Rapport \(k\) | Longueurs | Aires | Volumes |
|---|---|---|---|
| \(k = 2\) | \(\times 2\) | \(\times 4\) | \(\times 8\) |
| \(k = 3\) | \(\times 3\) | \(\times 9\) | \(\times 27\) |
| \(k = \dfrac{1}{2}\) | \(\times \dfrac{1}{2}\) | \(\times \dfrac{1}{4}\) | \(\times \dfrac{1}{8}\) |
Les longueurs sont multipliées par \(k\), les aires par \(k^2\) et les volumes par \(k^3\). Une échelle de \(\dfrac{1}{80}\) est un rapport de réduction : \(1\) cm sur la maquette représente \(80\) cm en vrai.
La maquette d’un phare, à l’échelle \(\dfrac{1}{80}\), mesure \(21\) cm de haut. Quelle est la hauteur réelle du phare ?
Les longueurs réelles sont \(80\) fois plus grandes : \(21 \times 80 = 1\,680\) cm, soit \(16{,}8\) m.
Un rectangle de \(4\) cm sur \(6\) cm est agrandi avec le rapport \(2{,}5\). Ses dimensions deviennent \(10\) cm et \(15\) cm. Son aire passe de \(24\) cm² à \(150\) cm², soit \(24 \times 2{,}5^2 = 24 \times 6{,}25 = 150\) cm² : elle est multipliée par \(k^2\), pas par \(k\).
8. Rédiger une démonstration
Au brevet, une réponse juste mais mal rédigée perd des points. Une bonne démonstration suit toujours le même schéma en quatre temps.
- Les données : tu cites les points alignés et le parallélisme (« \(M \in (AB)\), \(N \in (AC)\) et \((MN) \parallel (BC)\) »).
- La propriété : « donc, d’après le théorème de Thalès » (ou sa réciproque).
- L’égalité avec les valeurs de l’énoncé, puis le calcul étape par étape.
- La conclusion : une phrase avec la grandeur cherchée et son unité.
Dans le triangle \(ABC\), \(M \in [AB]\), \(N \in [AC]\) et \((MN) \parallel (BC)\), avec \(AB = 15\) cm, \(AM = 9\) cm et \(BC = 20\) cm. Calcule \(MN\).
Les points \(A, M, B\) sont alignés, ainsi que \(A, N, C\), et les droites \((MN)\) et \((BC)\) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès : \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{MN}{BC}\), soit \(\dfrac{9}{15} = \dfrac{MN}{20}\).
Donc \(MN = \dfrac{9 \times 20}{15} = 12\). La longueur \(MN\) mesure \(12\) cm.
À retenir
- Thalès : si \((MN) \parallel (BC)\), alors \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}\), dans le triangle comme dans le papillon.
- Petit triangle au numérateur, grand triangle au dénominateur, toujours dans le même ordre.
- Pour une longueur inconnue : deux quotients et le produit en croix.
- Réciproque : deux quotients égaux et des points alignés dans le même ordre prouvent le parallélisme.
- Deux quotients différents prouvent que les droites ne sont pas parallèles.
- Rapport \(k\) : longueurs \(\times k\), aires \(\times k^2\), volumes \(\times k^3\).
- Rédige en quatre temps : données, propriété, calcul, conclusion avec l’unité.
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