Théorème de Thalès : exercices corrigés de maths 3ème à télécharger en PDF

1 Écrire les égalités ★★★

Les droites \((MN)\) et \((BC)\) sont parallèles, donc d’après le théorème de Thalès :

\(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}\).

2 Le papillon en lettres ★★★

Les triangles \(ORS\) et \(OTU\) sont dans une configuration en papillon de centre \(O\). Comme \((RS) \parallel (TU)\), d’après le théorème de Thalès :

\(\dfrac{OR}{OT} = \dfrac{OS}{OU} = \dfrac{RS}{TU}\).

3 Un rapport de réduction ★★★

Le rapport est \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}\).

D’après le théorème de Thalès, \(\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{1}{4}\), donc \(AN = 20 \times \dfrac{1}{4} = 5\) cm.

4 Calculer BC ★★★

D’après le théorème de Thalès : \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{MN}{BC}\), soit \(\dfrac{2}{8} = \dfrac{3}{BC}\).

\(BC = \dfrac{3 \times 8}{2} = 12\) cm.

5 Calculer AC puis NC ★★★

D’après le théorème de Thalès : \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}\), soit \(\dfrac{5}{15} = \dfrac{4}{AC}\).

\(AC = \dfrac{4 \times 15}{5} = 12\) cm. Comme \(N\) est sur \([AC]\), \(NC = AC - AN = 12 - 4 = 8\) cm.

6 Vrai ou faux ? ★★★

1. Vrai : \(\dfrac{4}{10} = 0{,}4\) et \(\dfrac{6}{15} = 0{,}4\), ce qui est bien l’égalité de Thalès.
2. Faux : \(MB = 10 - 4 = 6\), donc \(\dfrac{AM}{MB} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\), alors que \(\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{2}{5}\). Le dénominateur doit être \(AB\), pas \(MB\).
3. Faux : le théorème exige que les droites soient parallèles.

7 Lire une échelle ★★★

1. \(4 \times 25\,000 = 100\,000\) cm, soit \(1\,000\) m. Les villages sont distants de \(1\) km.
2. \(2{,}5\) km \(= 250\,000\) cm, et \(250\,000 \div 25\,000 = 10\). Le sentier mesure \(10\) cm sur la carte.

8 Un papillon chiffré ★★★

\((AC) \parallel (BD)\) et les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont sécantes en \(O\). D’après le théorème de Thalès : \(\dfrac{OA}{OB} = \dfrac{OC}{OD} = \dfrac{AC}{BD}\), soit \(\dfrac{3}{7{,}5} = \dfrac{4}{OD} = \dfrac{5}{BD}\).

Le rapport vaut \(\dfrac{3}{7{,}5} = 0{,}4\). Donc \(OD = \dfrac{4 \times 7{,}5}{3} = 10\) cm et \(BD = \dfrac{5 \times 7{,}5}{3} = 12{,}5\) cm.

9 L’ombre de l’arbre ★★★

L’arbre \([BC]\) et le bâton \([MN]\) sont tous deux verticaux, donc \((MN) \parallel (BC)\). Les points \(A, M, B\) sont alignés sur le sol et \(A, N, C\) sur le rayon de soleil.

D’après le théorème de Thalès : \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{MN}{BC}\), soit \(\dfrac{2}{9{,}6} = \dfrac{1{,}5}{BC}\).

\(BC = \dfrac{1{,}5 \times 9{,}6}{2} = 7{,}2\). L’arbre mesure \(7{,}2\) m de haut.

10 Avec des morceaux ★★★

\(M\) est sur \([AB]\), donc \(AM = AB - MB = 12 - 5 = 7\) cm.

D’après le théorème de Thalès : \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}\), soit \(\dfrac{7}{12} = \dfrac{AN}{18} = \dfrac{MN}{15{,}6}\).

\(AN = \dfrac{7 \times 18}{12} = 10{,}5\) cm et \(MN = \dfrac{7 \times 15{,}6}{12} = 9{,}1\) cm.

11 Parallèles ? Oui (1) ★★★

D’une part \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{2{,}4}{6} = 0{,}4\). D’autre part \(\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{3{,}2}{8} = 0{,}4\).

Les quotients sont égaux et les points \(A, M, B\) et \(A, N, C\) sont alignés dans le même ordre : d’après la réciproque du théorème de Thalès, \((MN) \parallel (BC)\).

12 Parallèles ? Non (2) ★★★

Comparons \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{5}{9}\) et \(\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{7}{12}\). Produits en croix : \(5 \times 12 = 60\) et \(7 \times 9 = 63\).

Comme \(60 \neq 63\), les quotients sont différents : d’après la contraposée du théorème de Thalès, \((MN)\) et \((BC)\) ne sont pas parallèles.

13 Agrandir un rectangle ★★★

1. \(3 \times 2{,}4 = 7{,}2\) et \(5 \times 2{,}4 = 12\). Le nouveau rectangle mesure \(7{,}2\) cm sur \(12\) cm.
2. Aire initiale : \(3 \times 5 = 15\) cm². Aire finale : \(7{,}2 \times 12 = 86{,}4\) cm². Le coefficient est \(86{,}4 \div 15 = 5{,}76 = 2{,}4^2\) : l’aire est multipliée par \(k^2\).

14 La maquette de voiture ★★★

1. \(4{,}6\) m \(= 460\) cm et \(460 \div 20 = 23\). La maquette mesure \(23\) cm de long.
2. \(7{,}5 \times 20 = 150\) cm. La voiture mesure \(1{,}5\) m de haut.

15 Réciproque en papillon ★★★

D’une part \(\dfrac{OE}{OF} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}\). D’autre part \(\dfrac{OG}{OH} = \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}\).

Les quotients sont égaux et les points \(E, O, F\) d’une part, \(G, O, H\) d’autre part, sont alignés dans le même ordre (le point \(O\) est entre les deux autres). D’après la réciproque du théorème de Thalès, \((EG) \parallel (FH)\).

16 Les diagonales d’un trapèze ★★★

\((AB) \parallel (CD)\) et les droites \((AC)\), \((BD)\) sont sécantes en \(O\) : d’après le théorème de Thalès (papillon de centre \(O\)), \(\dfrac{OA}{OC} = \dfrac{OB}{OD} = \dfrac{AB}{CD} = \dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5}\).

Posons \(OA = x\). Comme \(O\) est sur \([AC]\), \(OC = 14 - x\), et \(\dfrac{x}{14 - x} = \dfrac{2}{5}\), donc \(5x = 28 - 2x\), \(7x = 28\) et \(x = 4\). Ainsi \(OA = 4\) cm et \(OC = 10\) cm.

De même, avec \(OB = y\) : \(\dfrac{y}{21 - y} = \dfrac{2}{5}\), donc \(5y = 42 - 2y\), \(y = 6\). Ainsi \(OB = 6\) cm et \(OD = 15\) cm.

17 Le théâtre d’ombres ★★★

Le carton et le mur sont parallèles : \((MN) \parallel (PQ)\). Les points \(S, M, P\) sont alignés, ainsi que \(S, N, Q\). D’après le théorème de Thalès : \(\dfrac{SM}{SP} = \dfrac{MN}{PQ}\), soit \(\dfrac{2}{5} = \dfrac{30}{PQ}\).

\(PQ = \dfrac{30 \times 5}{2} = 75\). L’ombre mesure \(75\) cm de haut.

18 Une équation avec Thalès ★★★

1. \(AB = x + 4\) et \(AC = 6 + 8 = 14\). D’après le théorème de Thalès : \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}\), soit \(\dfrac{x}{x + 4} = \dfrac{6}{14}\). Produit en croix : \(14x = 6(x + 4)\), donc \(14x = 6x + 24\), \(8x = 24\) et \(x = 3\). Ainsi \(AM = 3\) cm et \(AB = 7\) cm.
2. Le rapport vaut \(\dfrac{3}{7}\), donc \(MN = 10{,}5 \times \dfrac{3}{7} = 4{,}5\) cm.

19 Démontrer un parallélisme ★★★

1. \(AM = 12 - 4{,}5 = 7{,}5\) cm et \(AN = 16 - 6 = 10\) cm. D’une part \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{7{,}5}{12} = 0{,}625\), d’autre part \(\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{10}{16} = 0{,}625\). Les quotients sont égaux et les points sont alignés dans le même ordre : d’après la réciproque du théorème de Thalès, \((MN) \parallel (BC)\).
2. Les droites étant parallèles, le théorème de Thalès donne \(\dfrac{MN}{BC} = 0{,}625\), donc \(MN = 14 \times 0{,}625 = 8{,}75\) cm.

20 Réduction, côtés et aire ★★★

1. \((MN) \parallel (BC)\) : d’après le théorème de Thalès, le rapport est \(k = \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{6}{14} = \dfrac{3}{7}\). Donc \(AN = 17{,}5 \times \dfrac{3}{7} = 7{,}5\) cm et \(MN = 10{,}5 \times \dfrac{3}{7} = 4{,}5\) cm.
2. \(ABC\) est rectangle en \(B\) : son aire est \(\dfrac{14 \times 10{,}5}{2} = 73{,}5\) cm². \(AMN\) est une réduction de \(ABC\) de rapport \(\dfrac{3}{7}\), donc son aire est multipliée par \(\left(\dfrac{3}{7}\right)^2 = \dfrac{9}{49}\) : \(73{,}5 \times \dfrac{9}{49} = 13{,}5\) cm².