Combien de séances de sport faut-il pour que l’abonnement devienne rentable ? Quel est le prix d’un billet de cinéma quand on connaît seulement la facture ? Pour répondre, on écrit une équation ou une inéquation, puis on la résout avec méthode. Dans ce chapitre de 3ème, tu vas maîtriser les équations du premier degré, les équations produit, la mise en équation de problèmes concrets et les inéquations, sans oublier de toujours vérifier ton résultat.
1. Égalités, équations et solutions
Une équation est une égalité qui contient une lettre inconnue, souvent \(x\). Une solution est un nombre qui, mis à la place de l’inconnue, rend l’égalité vraie. Résoudre une équation, c’est trouver toutes ses solutions.
Pour savoir si un nombre est solution, on le teste : on calcule séparément le membre de gauche et le membre de droite, puis on compare.
Le nombre \(4\) est-il solution de \(3x - 5 = 2x - 1\) ? Et le nombre \(-2\) ?
Pour \(x = 4\) : \(3 \times 4 - 5 = 7\) et \(2 \times 4 - 1 = 7\). Les deux membres sont égaux, donc \(4\) est solution.
Pour \(x = -2\) : \(3 \times (-2) - 5 = -11\) et \(2 \times (-2) - 1 = -5\). Comme \(-11 \neq -5\), \(-2\) n’est pas solution.
Pour tester, ne remplace pas seulement d’un côté du signe égal : calcule les deux membres et compare-les. Mets aussi des parenthèses autour d’un nombre négatif.
2. Résoudre une équation du premier degré
Une équation du premier degré est comme une balance en équilibre : tant que tu fais la même opération des deux côtés, l’équilibre est conservé.
On ne change pas les solutions d’une équation quand on ajoute ou soustrait le même nombre aux deux membres, ou quand on les multiplie ou divise par le même nombre non nul.
- Développe et réduis chaque membre si besoin.
- Regroupe les termes en \(x\) d’un côté et les nombres de l’autre.
- Divise les deux membres par le coefficient de \(x\).
- Vérifie en remplaçant dans l’équation de départ, puis écris la solution.
Résous \(5x - 7 = 3x + 9\).
On soustrait \(3x\) aux deux membres : \(2x - 7 = 9\). On ajoute \(7\) : \(2x = 16\). On divise par \(2\) : \(x = 8\).
Vérification : \(5 \times 8 - 7 = 33\) et \(3 \times 8 + 9 = 33\). La solution est \(8\).
3. Parenthèses et fractions
Quand l’équation contient des parenthèses, on développe d’abord. Quand elle contient des fractions, on peut multiplier les deux membres par un dénominateur commun pour les faire disparaître.
Résous \(4(x - 3) = 2(x + 5) + 6\).
On développe : \(4x - 12 = 2x + 10 + 6\), soit \(4x - 12 = 2x + 16\). Puis \(2x = 28\), donc \(x = 14\).
Vérification : \(4 \times 11 = 44\) et \(2 \times 19 + 6 = 44\).
Résous \(\dfrac{x}{3} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{6}\).
On multiplie les deux membres par \(6\) : \(2x + 3 = 5\). Donc \(2x = 2\) et \(x = 1\).
Vérification : \(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{6}\).
Quand un signe moins précède une parenthèse, il change tous les signes à l’intérieur : \(-(x - 7) = -x + 7\), et non \(-x - 7\).
On peut aussi « voir » une équation : les deux membres sont deux fonctions, et la solution est l’abscisse du point où leurs droites se coupent.
Ici \(2x + 1 = x + 4\) donne \(x = 3\), et les droites se croisent bien au point d’abscisse \(3\).
4. Les équations produit
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un au moins des facteurs est nul : \(A \times B = 0\) équivaut à \(A = 0\) ou \(B = 0\).
Résous \((2x - 6)(x + 5) = 0\).
Un produit est nul si l’un de ses facteurs est nul : \(2x - 6 = 0\) ou \(x + 5 = 0\). Donc \(x = 3\) ou \(x = -5\).
L’équation a deux solutions : \(3\) et \(-5\).
Pour utiliser cette propriété, il faut une équation dont le second membre est \(0\) et dont le premier membre est factorisé. Avec l’identité \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\), on factorise facilement certaines équations.
Résous \(x^2 - 25 = 0\).
On factorise : \((x - 5)(x + 5) = 0\). Donc \(x = 5\) ou \(x = -5\).
Avec \((x - 2)(x + 3) = 5\), on ne peut pas dire \(x - 2 = 5\) ou \(x + 3 = 5\) : la propriété ne marche que si le produit vaut \(0\). Ne divise jamais par une expression qui contient \(x\) : tu perdrais une solution.
5. Mettre un problème en équation
- Choisis l’inconnue : « Soit \(x\) la largeur, en cm ».
- Exprime les autres grandeurs avec \(x\).
- Écris l’équation qui traduit la phrase importante de l’énoncé.
- Résous l’équation.
- Vérifie avec l’énoncé et conclus par une phrase avec l’unité.
Un rectangle a une longueur de \(5\) cm de plus que sa largeur, et son périmètre est \(54\) cm. Quelles sont ses dimensions ?
Soit \(x\) la largeur en cm. La longueur est \(x + 5\). Le périmètre est \(2(x + x + 5) = 54\), soit \(4x + 10 = 54\), donc \(4x = 44\) et \(x = 11\).
La largeur est \(11\) cm et la longueur \(16\) cm. Vérification : \(2 \times (11 + 16) = 54\).
Sur ma planète, on écrit toujours « Soit \(x\)… » avant de commencer. Si tu oublies de dire ce que représente ton inconnue, plus personne ne comprend ton équation, pas même mon vaisseau !
6. Les inéquations du premier degré
Une inéquation est une inégalité (avec \(<\), \(>\), \(\leq\) ou \(\geq\)) qui contient une inconnue. Ses solutions sont tous les nombres qui la rendent vraie : il y en a en général une infinité.
On peut ajouter ou soustraire le même nombre aux deux membres sans rien changer. On peut multiplier ou diviser par un nombre positif sans rien changer. Mais si l’on multiplie ou divise par un nombre négatif, on doit inverser le sens de l’inégalité.
Résous \(3x - 4 \leq 11\).
On ajoute \(4\) : \(3x \leq 15\). On divise par \(3\), nombre positif, le sens ne change pas : \(x \leq 5\).
Résous \(-2x + 6 > 14\).
On soustrait \(6\) : \(-2x > 8\). On divise par \(-2\), nombre négatif : on inverse le sens, donc \(x < -4\).
Contrôle : pour \(x = -5\), \(-2 \times (-5) + 6 = 16 > 14\). C’est vrai.
Le changement de sens ne se produit que lorsqu’on multiplie ou divise par un négatif. Le seul fait qu’il y ait un signe moins quelque part ne suffit pas.
7. Représenter les solutions sur une droite graduée
Les solutions d’une inéquation se représentent par une partie colorée de la droite. Au point de départ, on dessine un rond :
- rond plein quand la valeur est incluse (\(\leq\) ou \(\geq\)) ;
- rond vide quand la valeur est exclue (\(<\) ou \(>\)).
La figure représente \(x \leq 5\) : le \(5\) est solution, et tous les nombres plus petits aussi.
Cette deuxième figure représente \(x < -4\) : le rond vide indique que \(-4\) n’est pas solution.
8. Vérifier une solution et résoudre un problème concret
Pour une équation, on remplace par la solution trouvée. Pour une inéquation, on teste un nombre pris dans la zone colorée, puis un nombre hors de cette zone : le premier doit convenir, le second non.
Une salle d’escalade coûte \(9\) € d’inscription plus \(0{,}05\) € par minute de location de matériel. Alice ne veut pas dépasser \(20\) €. Pendant combien de minutes peut-elle louer le matériel ?
Soit \(x\) le nombre de minutes. La dépense est \(9 + 0{,}05x\) et on veut \(9 + 0{,}05x \leq 20\). Donc \(0{,}05x \leq 11\), puis \(x \leq 220\).
Vérification : pour \(220\) minutes, \(9 + 11 = 20\) €. Alice peut louer le matériel au maximum \(220\) minutes.
À retenir
- Une solution rend l’égalité vraie : on la vérifie en calculant les deux membres.
- On peut ajouter, soustraire, multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre (non nul pour multiplier ou diviser).
- Équation produit : \(A \times B = 0\) signifie \(A = 0\) ou \(B = 0\).
- Mise en équation : inconnue, expressions, équation, résolution, vérification, phrase.
- Inéquation : le sens s’inverse si l’on multiplie ou divise par un nombre négatif.
- Sur la droite graduée, rond plein pour \(\leq\) et \(\geq\), rond vide pour \(<\) et \(>\).
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