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Vecteurs du plan : corrigé du contrôle de maths 2de à télécharger en PDF

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Corrigés de contrôles de maths en 2de : Vecteurs du plan — Zyro, l’explorateur de Planète Maths

Corrigé du contrôle avec le barème détaillé. Compte tes points et repère ce qu’il faut revoir.

Durée conseillée : 45 minutes. Barème sur 20 points. Calculatrice autorisée seulement quand l’énoncé le précise.

1 Coordonnées et parallélogramme / 4 pts

  1. \overrightarrow{AB} \((5 \,;\, 3)\), \overrightarrow{AC} \((8 \,;\, -1)\), \overrightarrow{BC} \((3 \,;\, -4)\) (1,5 pt).
  2. \(BC = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{25} = 5\) (1 pt).
  3. \overrightarrow{AB} \(=\) \overrightarrow{DC} avec \overrightarrow{DC} \((4 - x_D \,;\, 1 - y_D)\) : \(x_D = -1\) et \(y_D = -2\), donc \(D(-1\,;\,-2)\) (1,5 pt).

2 Calculs sur les coordonnées / 3 pts

  1. \(\vec{u} + \vec{v} = (2 \,;\, 2)\) (0,5 pt).
  2. \(3\vec{u} - 2\vec{v} = (12 \,;\, -9) - (-4 \,;\, 10) = (16 \,;\, -19)\) (1 pt).
  3. \(4\times 6 - (-8)\times(-3) = 24 - 24 = 0\) (1 pt), donc colinéaires ; \(\vec{w} = -2\vec{u}\) (0,5 pt).

3 Relation de Chasles / 3 pts

  1. \overrightarrow{AD} (1 pt).
  2. \overrightarrow{EF} \(+\) \overrightarrow{FG} \(=\) \overrightarrow{EG} (1 pt).
  3. \overrightarrow{MA} \(+\) \overrightarrow{AN} \(=\) \overrightarrow{MN}, puis \overrightarrow{MN} \(-\) \overrightarrow{MP} \(=\) \overrightarrow{MN} \(+\) \overrightarrow{PM} \(=\) \overrightarrow{PN} (1 pt).

4 Colinéarité avec un paramètre / 4 pts

  1. \(\vec{u}\,(x \,;\, y)\) et \(\vec{v}\,(x' \,;\, y')\) sont colinéaires si et seulement si \(xy' - x'y = 0\) (1 pt).
  2. \((2m - 1)\times(-6) - 3\times 4 = 0 \iff -12m + 6 - 12 = 0 \iff m = -\dfrac{1}{2}\) (2 pts).
  3. Pour \(m = -\dfrac{1}{2}\), \(\vec{u}\,(-2 \,;\, 4)\) et \(\vec{v} = -\dfrac{3}{2}\vec{u}\) : \(-\dfrac{3}{2}\times(-2) = 3\) et \(-\dfrac{3}{2}\times 4 = -6\) (1 pt).

5 Alignement et parallélisme / 4 pts

  1. \overrightarrow{AB} \((4 \,;\, 2)\) et \overrightarrow{AC} \((8 \,;\, 4)\) (1 pt). \(4\times 4 - 8\times 2 = 0\) : les vecteurs sont colinéaires, donc \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés (1 pt).
  2. \overrightarrow{DE} \((4 \,;\, 2)\) (1 pt), donc \overrightarrow{AB} \(=\) \overrightarrow{DE}, ce qui prouve que \(ABED\) est un parallélogramme (1 pt). Le parallélogramme n’est pas aplati : \overrightarrow{AD} \((2 \,;\, 5)\) et \overrightarrow{AB} \((4 \,;\, 2)\) ne sont pas colinéaires, car \(4\times 5 - 2\times 2 = 16 \neq 0\).

6 Le point de ravitaillement / 2 pts

  1. \(I\left(\dfrac{-3 + 9}{2}\,;\,\dfrac{-2 + 6}{2}\right) = I(3\,;\,2)\) (1 pt).
  2. \overrightarrow{PQ} \((12 \,;\, 8)\), donc \(PQ = \sqrt{144 + 64} = \sqrt{208} \approx 14{,}4\) km (1 pt).
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